Раус-Гурвиц кестілік критерийі
Түйінді теорияны оқып, тікелей жүйенің беттіктігін анықтауға болады. Егер с-жазықтығының басынан оң жағына түсірілген барлық полюстар жүйені нестабил етеді. Бұл шартты ескере отырып A. Hurwitz және E.J.Routh жүйенің стабилдігі үшін қажетті және жеткілікті шарттарды зерттеуді бастады. Жүйенің стабилдігі үшін екі критерийді қарастырамыз. Бірінші критерий A. Hurwitz таразысынан беріледі, бұл критерий Hurwitz стабилдік критерийі немесе Routh-Hurwitz (R-H) стабилдік критерийі деп аталады.
Hurwitz критерийі
Жүйенің характеристикалық теңдеуінің көмегімен, жүйенің стабилдігін анықтау үшін бірнеше Hurwitz детерминанттарын құрастырамыз. Жүйенің характеристикалық теңдеуін мынадай түрде анықтаймыз
Енді n-ші ретті характеристикалық теңдеу үшін n детерминант бар.
Характеристикалық теңдеу коэффициенттерінен детерминанттар қалай жазыладығын көрейік. k-ші ретті характеристикалық теңдеу үшін қадам-қадамдық процедура төмендегідей жазылады:
Бірінші детерминант : Бұл детерминанттың мәні |a1| түрінде беріледі, мұнда a1 - характеристикалық теңдеудегі sn-1 коэффициенті.
Екінші детерминант : Бұл детерминанттың мәні төмендегідей беріледі
Әр жолдағы элементтер саны детерминант нөмірге тең, біздің детерминант нөмірі екі. Бірінші жол бірінші екі тақ коэффициенттерден, екінші жол бірінші екі жұп коэффициенттерден тұрады.
Үшінші детерминант : Бұл детерминанттың мәні төмендегідей беріледі
Әр жолдағы элементтер саны детерминант нөмірге тең, біздің детерминант нөмірі үш. Бірінші жол бірінші үш тақ коэффициенттерден, екінші жол бірінші үш жұп коэффициенттерден, үшінші жол бірінші элементі нөл, ал қалған екі элементі бірінші екі тақ коэффициенттерден тұрады.
Төртінші детерминант: Бұл детерминанттың мәні төмендегідей беріледі,
Әр жолдағы элементтер саны детерминант нөмірге тең, біздің детерминант нөмірі төрт. Бірінші жол бірінші төрт коэффициенттерден, екінші жол бірінші төрт жұп коэффициенттерден, үшінші жол бірінші элементі нөл, ал қалған үш элементі бірінші үш тақ коэффициенттерден, төртінші жол бірінші элементі нөл, ал қалған үш элементі бірінші үш жұп коэффициенттерден тұрады.
Соңғы процедураны пайдаланып, детерминанттардың құрылуын жалпылауға болады. Детерминанттың жалпы формасы төмендегідей беріледі:
Жүйенің стабилдігін тексеру үшін, әрбір детерминанттың мәнін есептеңіз. Жүйе әрбір детерминанттың мәні теріс емес болғанда, яғни әрбір детерминанттың мәні теріс емес болғанда стабил болады. Барлық басқа жағдайларда жүйе стабил болмайды.
Routh стабилдік критерийі
Бұл критерий жүйенің стабилдігі үшін Hurwitz критерийінің өзгертілген версиясы деп аталады. Бұл критерийді екі бөлімде қарастырамыз. Бірінші бөлім жүйенің стабилдігі үшін қажетті шарт, екінші бөлім жүйенің стабилдігі үшін жеткілікті шарт. Жүйенің характеристикалық теңдеуін қайта қарастырайық
1) Бірінші бөлім (жүйенің стабилдігі үшін қажетті шарт): Бұлда бізде төмендегі екі шарт бар:
Характеристикалық теңдеудің барлық коэффициенттері оң және нақты сандар болуы керек.
Характеристикалық теңдеудің барлық коэффициенттері нөлге тең емес болуы керек.
2) Екінші бөлім (жүйенің стабилдігі үшін жеткілікті шарт): Routh массивін құрастыру үшін төмендегі қадамдарды орындайық:
Бірінші жол характеристикалық теңдеудегі барлық жұп терістерден тұрады. Оларды бірінші (жұп теріс) мен соңғы (жұп теріс) дейін реттеңіз. Бірінші жол төмендегідей жазылады: a0 a2 a4 a6…………
Екінші жол характеристикалық теңдеудегі барлық тақ терістерден тұрады. Оларды бірінші (тақ теріс) мен соңғы (тақ теріс) дейін реттеңіз. Бірінші жол төмендегідей жазылады: a1 a3 a5 a7………..
Үшінші жол элементтерін төмендегі түрде есептеуге болады:
(1) Бірінші элемент : a0 коэффициентін келесі бағандың диагоналдық қарама-қарсы элементімен (яғни a3) көбейтіңіз, содан кейін бұл нәтижені a1 және a2 (мұнда a2 келесі бағандың диагоналдық қарама-қарсы элементі) көбейтіндісінен азайтыңыз, содан кейін нәтижені a1-ге бөліңіз. Математикалық түрде бірінші элемент
(2) Екінші элемент : a0 коэффициентін келесі бағанның диагоналдық қарама-қарсы элементімен (яғни a5) көбейтіңіз, содан кейін бұл нәтижені a1 және a4 (мұнда, a4 келесі бағанның диагоналдық қарама-қарсы элементі) көбейтіндісінен азайтыңыз, содан кейін нәтижені a1 ге бөліңіз. М
