Criterio de estabilidade de Routh-Hurwitz

Despois de ler a teoría da síntese de redes, podemos dicir facilmente que calquera polo do sistema que se atope no lado dereito do orixe do plano s, fai que o sistema sexa inestable. Basándonos nesta condición, A. Hurwitz e E.J.Routh comezaron a investigar as condicións necesarias e suficientes para a estabilidade dun sistema. Discutiremos dous criterios para a estabilidade do sistema. O primeiro criterio é dado por A. Hurwitz e este criterio tamén é coñecido como Criterio de Hurwitz para a estabilidade ou Criterio de estabilidade de Routh-Hurwitz (R-H).

Criterio de Hurwitz

Coa axuda da ecuación característica, faremos un número de determinantes de Hurwitz para atopar a estabilidade do sistema. Definimos a ecuación característica do sistema como

Agora hai n determinantes para a ecuación característica de orde nésima.

Vexamos como podemos escribir determinantes a partir dos coeficientes da ecuación característica. O procedemento paso a paso para a ecuación característica de orde késima está escrito a continuación:
Determinante un : O valor deste determinante dáse por |a1| onde a1 é o coeficiente de sn-1 na ecuación característica.
Determinante dous : O valor deste determinante dáse por

O número de elementos en cada fila é igual ao número de determinante e temos aquí o número de determinante dous. A primeira fila consiste nos dous primeiros coeficientes impares e a segunda fila consiste nos dous primeiros coeficientes pares.
Determinante tres : O valor deste determinante dáse por

O número de elementos en cada fila é igual ao número de determinante e temos aquí o número de determinante tres. A primeira fila consiste nos tres primeiros coeficientes impares, a segunda fila consiste nos tres primeiros coeficientes pares e a terceira fila consiste no primeiro elemento como cero e os outros dous elementos como os dous primeiros coeficientes impares.
Determinante catro: O valor deste determinante dáse por,

O número de elementos en cada fila é igual ao número de determinante e temos aquí o número de determinante catro. A primeira fila consiste nos catro primeiros coeficientes, a segunda fila consiste nos catro primeiros coeficientes pares, a terceira fila consiste no primeiro elemento como cero e os outros tres elementos como os tres primeiros coeficientes impares, a cuarta fila consiste no primeiro elemento como cero e os outros tres elementos como os tres primeiros coeficientes pares.

Seguindo o mesmo procedemento, podemos xeneralizar a formación do determinante. A forma xeral do determinante dáse a continuación:

Agora, para comprobar a estabilidade do sistema anterior, calcule o valor de cada determinante. O sistema será estable se e só se o valor de cada determinante sexa maior que cero, é dicir, o valor de cada determinante debe ser positivo. En todos os demais casos, o sistema non será estable.

Criterio de estabilidade de Routh

Este criterio tamén é coñecido como criterio de estabilidade de Routh modificado. Estudaremos este criterio en dúas partes. A primeira parte cubrirá a condición necesaria para a estabilidade do sistema e a segunda parte cubrirá a condición suficiente para a estabilidade do sistema. Consideremos de novo a ecuación característica do sistema como

1) Parte unha (condición necesaria para a estabilidade do sistema): Nesta temos dúas condicións que están escritas a continuación:

1. Todos os coeficientes da ecuación característica deben ser positivos e reais.

2. Todos os coeficientes da ecuación característica deben ser non cero.

2) Parte dous (condición suficiente para a estabilidade do sistema): Construimos primeiro a táboa de Routh. Para construír a táboa de Routh, siga estes pasos:

• A primeira fila conterá todos os termos pares da ecuación característica. Ordenalos desde o primeiro (termo par) ata o último (termo par). A primeira fila está escrita a continuación: a0 a2 a4 a6…………

• A segunda fila conterá todos os termos impares da ecuación característica. Ordenalos desde o primeiro (termo impar) ata o último (termo impar). A primeira fila está escrita a continuación: a1 a3 a5 a7………..

• Os elementos da terceira fila poden calcularse como:
  (1) Primeiro elemento : Multiplicar a0 co elemento diagonalmente oposto da seguinte columna (é dicir, a3) e despois subtrair isto do produto de a1 e a2 (onde a2 é o elemento diagonalmente oposto da seguinte columna) e despois finalmente dividir o resultado obtido con a1. Matematicamente escribimos como primeiro elemento

(2) Segundo elemento : Multiplicar a0 co elemento diagonalmente oposto da columna seguinte (é dicir, a5) e despois subtrair isto do produto de a1 e a4 (onde, a4 é o elemento diagonalmente oposto da columna seguinte) e despois finalmente dividir o resultado obtido con a1. Matematicamente escribimos como segundo elemento

De maneira semellante, podemos calcular todos os elementos da terceira fila.
(d) Os elementos da cuarta fila poden calcularse usando o seguinte procedemento:
(1) Primeiro elemento : Multiplicar b1 co elemento diagonalmente oposto da columna seguinte (é dicir, a3) e despois subtrair isto do produto de a1 e b2 (onde, b2 é o elemento diagonalmente oposto da columna seguinte) e despois finalmente dividir o resultado obtido con b1. Matematicamente escribimos como primeiro elemento

(2) Segundo elemento : Multiplicar b