Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz

Después de leer la teoría de síntesis de redes, podemos decir fácilmente que si algún polo del sistema se encuentra en el lado derecho del origen del plano s, hace que el sistema sea inestable. Basándose en esta condición, A. Hurwitz y E.J.Routh comenzaron a investigar las condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad de un sistema. Discutiremos dos criterios para la estabilidad del sistema. El primer criterio es dado por A. Hurwitz y este criterio también se conoce como Criterio de Estabilidad de Hurwitz o Criterio de Estabilidad de Routh Hurwitz (R-H).

Criterio de Hurwitz

Con la ayuda de la ecuación característica, haremos una serie de determinantes de Hurwitz para encontrar la estabilidad del sistema. Definimos la ecuación característica del sistema como

Ahora hay n determinantes para la ecuación característica de orden nth.

Veamos cómo podemos escribir los determinantes a partir de los coeficientes de la ecuación característica. El procedimiento paso a paso para la ecuación característica de orden kth se escribe a continuación:
Determinante uno : El valor de este determinante está dado por |a1| donde a1 es el coeficiente de sn-1 en la ecuación característica.
Determinante dos : El valor de este determinante está dado por

Aquí, el número de elementos en cada fila es igual al número de determinante y tenemos que el número de determinante aquí es dos. La primera fila consta de los dos primeros coeficientes impares y la segunda fila consta de los dos primeros coeficientes pares.
Determinante tres : El valor de este determinante está dado por

Aquí, el número de elementos en cada fila es igual al número de determinante y tenemos que el número de determinante aquí es tres. La primera fila consta de los tres primeros coeficientes impares, la segunda fila consta de los tres primeros coeficientes pares y la tercera fila consta del primer elemento como cero y los otros dos elementos como los dos primeros coeficientes impares.
Determinante cuatro: El valor de este determinante está dado por,

Aquí, el número de elementos en cada fila es igual al número de determinante y tenemos que el número de determinante aquí es cuatro. La primera fila consta de los primeros cuatro coeficientes, la segunda fila consta de los primeros cuatro coeficientes pares, la tercera fila consta del primer elemento como cero y los otros tres elementos como los tres primeros coeficientes impares, y la cuarta fila consta del primer elemento como cero y los otros tres elementos como los tres primeros coeficientes pares.

Siguiendo el mismo procedimiento, podemos generalizar la formación del determinante. La forma general del determinante se da a continuación:

Ahora, para verificar la estabilidad del sistema anterior, calcule el valor de cada determinante. El sistema será estable si y solo si el valor de cada determinante es mayor que cero, es decir, el valor de cada determinante debe ser positivo. En todos los demás casos, el sistema no será estable.

Criterio de Estabilidad de Routh

Este criterio también se conoce como Criterio de Estabilidad de Routh modificado. Estudiaremos este criterio en dos partes. La primera parte cubrirá la condición necesaria para la estabilidad del sistema y la segunda parte cubrirá la condición suficiente para la estabilidad del sistema. Consideremos nuevamente la ecuación característica del sistema como

1) Parte uno (condición necesaria para la estabilidad del sistema): En esto tenemos dos condiciones que se escriben a continuación:

1. Todos los coeficientes de la ecuación característica deben ser positivos y reales.

2. Todos los coeficientes de la ecuación característica deben ser no cero.

2) Parte dos (condición suficiente para la estabilidad del sistema): Construyamos primero la matriz de Routh. Para construir la matriz de Routh, siga estos pasos:

• La primera fila consistirá en todos los términos pares de la ecuación característica. Ordénalos desde el primer término par hasta el último término par. La primera fila se escribe a continuación: a0 a2 a4 a6…………

• La segunda fila consistirá en todos los términos impares de la ecuación característica. Ordénalos desde el primer término impar hasta el último término impar. La segunda fila se escribe a continuación: a1 a3 a5 a7………..

• Los elementos de la tercera fila se pueden calcular como:
  (1) Primer elemento : Multiplica a0 con el elemento diagonalmente opuesto de la columna siguiente (es decir, a3) luego resta esto del producto de a1 y a2 (donde a2 es el elemento diagonalmente opuesto de la columna siguiente) y finalmente divide el resultado obtenido con a1. Matemáticamente escribimos como primer elemento

(2) Segundo elemento : Multiplica a0 con el elemento diagonalmente opuesto de la columna siguiente (es decir, a5) luego resta esto del producto de a1 y a4 (donde, a4 es el elemento diagonalmente opuesto de la columna siguiente) y finalmente divide el resultado obtenido con a1. Matemáticamente escribimos como segundo elemento

De manera similar, podemos calcular todos los elementos de la tercera fila.
(d) Los elementos de la cuarta fila se pueden calcular utilizando el siguiente procedimiento:
(1) Primer elemento : Multiplica b1 con el elemento diagonalmente opuesto de la columna siguiente (es decir, a3) luego resta esto del producto de a1 y b2 (donde, b2 es el elemento diagonalmente opuesto de la columna siguiente) y finalmente divide el resultado obtenido con b1. Matemáticamente escribimos como primer elemento

(2) Segundo elemento : Multiplica b