روت ہر ویٹز استحکام کriterion

نیٹ ورک سنتھیسیس کے نظریہ کو پڑھنے کے بعد، ہم آسانی سے کہ سکتے ہیں کہ اگر کسی نظام کا کوئی قطب s صفحے کے مبدا کے دائیں طرف واقع ہوتا ہے تو یہ نظام غیر استحکامی ہوتا ہے۔ اس شرط کے بنیاد پر A. Hurwitz اور E.J.Routh نے نظام کے استحکام کے لازم و کافی شرائط کی تحقیق شروع کی۔ ہم نظام کے استحکام کے لیے دو معیاریں بحث کریں گے۔ پہلا معیار A. Hurwitz کی جانب سے دیا گیا ہے اور یہ معیار کو Hurwitz استحکام کا معیار یا Routh Hurwitz (R-H) استحکام کا معیار بھی کہا جاتا ہے۔

Hurwitz Criterion

معیاري مساوات کی مدد سے ہم نظام کے استحکام کو دریافت کرنے کے لیے کچھ Hurwitz حاصل کرتے ہیں۔ ہم نظام کی معیاري مساوات کو اس طرح تعریف کرتے ہیں

اب nویں درجہ کی معیاري مساوات کے لیے n حاصل ہوتے ہیں۔

چلو دیکھیں کہ ہم معیاري مساوات کے ضرائب سے کیسے حاصل کرتے ہیں۔ kویں درجہ کی معیاري مساوات کے لیے مرحلہ وار طریقہ درج ذیل ہے:
پہلا حاصل : اس حاصل کی قدر |a1| ہوتی ہے جہاں a1 معیاري مساوات میں sn-1 کا ضریب ہے۔
دوسرا حاصل : اس حاصل کی قدر

ہر قطار میں عناصر کی تعداد حاصل کی تعداد کے برابر ہوتی ہے اور یہاں حاصل کی تعداد دو ہے۔ پہلی قطار میں پہلے دو طاق ضرائب ہوتے ہیں اور دوسری قطار میں پہلے دو جفت ضرائب ہوتے ہیں۔
تیسرا حاصل : اس حاصل کی قدر

ہر قطار میں عناصر کی تعداد حاصل کی تعداد کے برابر ہوتی ہے اور یہاں حاصل کی تعداد تین ہے۔ پہلی قطار میں پہلے تین طاق ضرائب ہوتے ہیں، دوسری قطار میں پہلے تین جفت ضرائب ہوتے ہیں اور تیسری قطار میں پہلا عنصر صفر ہوتا ہے اور باقی دو عناصر پہلے دو طاق ضرائب ہوتے ہیں۔
چوتھا حاصل: اس حاصل کی قدر،

ہر قطار میں عناصر کی تعداد حاصل کی تعداد کے برابر ہوتی ہے اور یہاں حاصل کی تعداد چار ہے۔ پہلی قطار میں پہلے چار ضرائب ہوتے ہیں، دوسری قطار میں پہلے چار جفت ضرائب ہوتے ہیں، تیسری قطار میں پہلا عنصر صفر ہوتا ہے اور باقی تین عناصر پہلے تین طاق ضرائب ہوتے ہیں اور چوتھی قطار میں پہلا عنصر صفر ہوتا ہے اور باقی تین عناصر پہلے تین جفت ضرائب ہوتے ہیں۔

ایک ہی طریقہ کے ذریعے ہم حاصل کی تشکیل کو عام کر سکتے ہیں۔ حاصل کی عام شکل درج ذیل ہے:

اب اوپر والے نظام کے استحکام کو چیک کرنے کے لیے ہر حاصل کی قدر کا حساب لگائیں۔ اگر ہر حاصل کی قدر صفر سے زیادہ ہو تو یعنی ہر حاصل کی قدر مثبت ہو تو نظام استحکامی ہوگا۔ تمام دیگر صورتحالوں میں نظام استحکامی نہیں ہوگا۔

Routh Stability Criterion

یہ معیار نظام کے استحکام کے لیے متعارف Hurwitz معیار کا معدّل شکل بھی کہلاتا ہے۔ ہم اس معیار کو دو حصوں میں مطالعہ کریں گے۔ پہلا حصہ نظام کے استحکام کے لیے لازمی شرائط کا ہوگا اور دوسرا حصہ نظام کے استحکام کے لیے کافی شرائط کا ہوگا۔ دوبارہ نظام کی معیاري مساوات کو درج ذیل طور پر لیں:

1) حصہ ایک (نظام کے استحکام کے لیے لازمی شرائط): یہاں ہمیں دو شرائط ہیں جو درج ذیل ہیں:

1. معیاري مساوات کے تمام ضرائب مثبت اور حقیقی ہونے چاہئیں۔

2. معیاري مساوات کے تمام ضرائب غیر صفر ہونے چاہئیں۔

2) حصہ دو (نظام کے استحکام کے لیے کافی شرائط): پہلے راؤتھ ارے کو تشکیل دیں۔ راؤتھ ارے کو تشکیل دینے کے لیے درج ذیل مرحلے کرو:

• پہلی قطار میں معیاري مساوات کے تمام جفت ضرائب ہوں گے۔ ان کو پہلے (جفت ضریب) سے آخر (جفت ضریب) تک ترتیب دیں۔ پہلی قطار درج ذیل ہے: a0 a2 a4 a6…………

• دوسری قطار میں معیاري مساوات کے تمام طاق ضرائب ہوں گے۔ ان کو پہلے (طاق ضریب) سے آخر (طاق ضریب) تک ترتیب دیں۔ پہلی قطار درج ذیل ہے: a1 a3 a5 a7………..

• تیسری قطار کے عناصر کا حساب اس طرح کیا جا سکتا ہے:
  (1) پہلا عنصر : a0 کو اگلے ستون کے قطری مقابل عنصر (یعنی a3) سے ضرب کریں پھر اس کو a1 اور a2 (جہاں a2 اگلے ستون کا قطری مقابل عنصر ہے) کے ضرب سے منقص کریں اور پھر آخر کار حاصل شدہ نتیجہ کو a1 سے تقسیم کریں۔ ریاضیاتی طور پر ہم پہلا عنصر لکھتے ہیں

(2) دوسرا عنصر : a0 کو اگلے اگلے ستون کے قطری مقابل عنصر (یعنی a5) سے ضرب کریں پھر اس کو a1 اور a4 (جہاں a4 اگلے اگلے ستون کا قطری مقابل عنصر ہے) کے ضرب سے منقص کریں اور پھر آخر کار حاصل شدہ نتیجہ کو a1 سے تقسیم کریں۔ ریاضیاتی طور پر ہم دوسرا عنصر لکھتے ہیں

اسی طرح ہم تیسری قطار کے تمام عناصر کا حساب کر سکتے ہیں۔
(d) چ