Kriteria Stabilitas Routh Hurwitz
Setelah membaca teori tentang sintesis jaringan, kita dapat dengan mudah mengatakan bahwa jika ada kutub sistem yang terletak di sisi kanan asal pada bidang s, maka sistem tersebut menjadi tidak stabil. Berdasarkan kondisi ini, A. Hurwitz dan E.J. Routh mulai menyelidiki syarat perlu dan cukup untuk stabilitas sistem. Kita akan membahas dua kriteria untuk stabilitas sistem. Kriteria pertama diberikan oleh A. Hurwitz dan kriteria ini juga dikenal sebagai Kriteria Stabilitas Hurwitz atau Kriteria Stabilitas Routh Hurwitz (R-H).
Kriteria Stabilitas Hurwitz
Dengan bantuan persamaan karakteristik, kita akan membuat sejumlah determinan Hurwitz untuk menentukan stabilitas sistem. Kami mendefinisikan persamaan karakteristik sistem sebagai
Sekarang ada n determinan untuk persamaan karakteristik orde nth.
Mari kita lihat bagaimana kita dapat menulis determinan dari koefisien persamaan karakteristik. Prosedur langkah demi langkah untuk persamaan karakteristik orde kth ditulis di bawah:
Determinan satu : Nilai dari determinan ini diberikan oleh |a1| di mana a1 adalah koefisien dari sn-1 dalam persamaan karakteristik.
Determinan dua : Nilai dari determinan ini diberikan oleh
Jumlah elemen di setiap baris sama dengan nomor determinan dan kita memiliki nomor determinan di sini adalah dua. Baris pertama terdiri dari dua koefisien ganjil pertama dan baris kedua terdiri dari dua koefisien genap pertama.
Determinan tiga : Nilai dari determinan ini diberikan oleh
Jumlah elemen di setiap baris sama dengan nomor determinan dan kita memiliki nomor determinan di sini adalah tiga. Baris pertama terdiri dari tiga koefisien ganjil pertama, baris kedua terdiri dari tiga koefisien genap pertama, dan baris ketiga terdiri dari elemen pertama sebagai nol dan sisanya dua elemen sebagai dua koefisien ganjil pertama.
Determinan empat: Nilai dari determinan ini diberikan oleh,
Jumlah elemen di setiap baris sama dengan nomor determinan dan kita memiliki nomor determinan di sini adalah empat. Baris pertama terdiri dari empat koefisien pertama, baris kedua terdiri dari empat koefisien genap pertama, baris ketiga terdiri dari elemen pertama sebagai nol dan sisanya tiga elemen sebagai tiga koefisien ganjil pertama, dan baris keempat terdiri dari elemen pertama sebagai nol dan sisanya tiga elemen sebagai tiga koefisien genap pertama.
Dengan mengikuti prosedur yang sama, kita dapat menggeneralisasikan pembentukan determinan. Bentuk umum dari determinan diberikan di bawah:
Untuk memeriksa stabilitas sistem di atas, hitung nilai setiap determinan. Sistem akan stabil jika dan hanya jika nilai setiap determinan lebih besar dari nol, yaitu nilai setiap determinan harus positif. Dalam semua kasus lain, sistem tidak akan stabil.
Kriteria Stabilitas Routh
Kriteria ini juga dikenal sebagai Kriteria Stabilitas Hurwitz yang dimodifikasi. Kita akan mempelajari kriteria ini dalam dua bagian. Bagian pertama akan mencakup syarat perlu untuk stabilitas sistem dan bagian kedua akan mencakup syarat cukup untuk stabilitas sistem. Mari kita pertimbangkan lagi persamaan karakteristik sistem sebagai
1) Bagian satu (syarat perlu untuk stabilitas sistem): Dalam ini kita memiliki dua kondisi yang ditulis di bawah:
Semua koefisien dari persamaan karakteristik harus positif dan nyata.
Semua koefisien dari persamaan karakteristik harus bukan nol.
2) Bagian dua (syarat cukup untuk stabilitas sistem): Mari kita pertama-tama membuat array Routh. Untuk membuat array Routh, ikuti langkah-langkah berikut:
Baris pertama akan terdiri dari semua istilah genap dari persamaan karakteristik. Susun mereka dari yang pertama (istilah genap) hingga terakhir (istilah genap). Baris pertama ditulis di bawah: a0 a2 a4 a6…………
Baris kedua akan terdiri dari semua istilah ganjil dari persamaan karakteristik. Susun mereka dari yang pertama (istilah ganjil) hingga terakhir (istilah ganjil). Baris pertama ditulis di bawah: a1 a3 a5 a7………..
Elemen-elemen dari baris ketiga dapat dihitung sebagai:
(1) Elemen pertama : Kalikan a0 dengan elemen yang berseberangan secara diagonal di kolom berikutnya (yaitu a3) kemudian kurangi hasil ini dari perkalian a1 dan a2 (di mana a2 adalah elemen yang berseberangan secara diagonal di kolom berikutnya) dan kemudian akhirnya bagi hasil yang diperoleh dengan a1. Secara matematika, kita tulis sebagai elemen pertama
(2) Elemen kedua : Kalikan a0 dengan elemen yang berseberangan secara diagonal di kolom berikutnya (yaitu a5) kemudian kurangi hasil ini dari perkalian a1 dan a4 (di mana, a4 adalah elemen yang berseberangan secara diagonal di kolom berikutnya) dan kemudian akhirnya bagi hasil yang diperoleh dengan a1. Secara matematika, kita tulis sebagai elemen kedua
Demikian pula, kita dapat menghitung semua elemen dari baris ketiga.
(d) Elemen-elemen dari baris keempat dapat dihitung dengan menggunakan prosedur berikut:
(1) Elemen pertama : Kalikan b1 dengan elemen yang berseberangan secara diagonal di kolom berikutnya (yaitu a3) kemudian kurangi hasil ini dari perkalian a1 dan b2 (di mana, b2 adalah elemen yang berseberangan secara diagonal di kolom berikutnya) dan kemudian akhirnya bagi hasil yang diperoleh dengan b1. Secara matematika, kita tulis sebagai elemen pertama
