राउथ हुर्विट्ज स्थिरता मानक

नेटवर्क सिंथेसिसको थ्योरी पढ्दा, हामी आसानीले बोल्न सक्छौं कि प्रणालीको कुनै पोल s-प्लेनको मूल बाट दाँया भागमा रहने भएको छ भने, यो प्रणालीलाई अस्थिर बनाउँछ। यस शर्तको आधारमा A. Hurwitz र E.J.Routh ले प्रणालीको स्थिरताको आवश्यक र पर्याप्त शर्तहरूको अनुसन्धान गर्न सुरु गर्यो। हामी प्रणालीको स्थिरताको दुई शर्तहरू बारेमा चर्चा गर्नेछौं। पहिलो शर्त A. Hurwitz दिएको छ र यो शर्त Hurwitz स्थिरता शर्त वा Routh Hurwitz (R-H) स्थिरता शर्त पनि भनिन्छ।

Hurwitz शर्त

विशेषता समीकरणको मद्दतसँग, हामी प्रणालीको स्थिरता पत्ता लगाउनका लागि केही Hurwitz निर्धारक बनाउँछौं। हामी प्रणालीको विशेषता समीकरणलाई निम्नानुसार परिभाषित गर्छौं

अब n-वटा निर्धारक n-वटा विशेषता समीकरणको लागि छन्।

आइयो देखौं कि हामी विशेषता समीकरणका गुणांकहरूबाट कसरी निर्धारक लेख्न सक्छौं। k-वटा विशेषता समीकरणको लागि पग-दर-पग विधि निम्न लेखिएको छ:
निर्धारक एक : यस निर्धारकको मान |a1| दिइएको छ जहाँ a1 विशेषता समीकरणमा sn-1को गुणांक छ।
निर्धारक दुई : यस निर्धारकको मान

यहाँ प्रत्येक पंक्तिमा तत्त्वहरूको संख्या निर्धारक संख्यासँग बराबर छ र यहाँ निर्धारक संख्या दुई छ। पहिलो पंक्ति पहिलो दुई विषम गुणांकहरू र दोस्रो पंक्ति पहिलो दुई सम गुणांकहरू भइरहेको छ।
निर्धारक तीन : यस निर्धारकको मान

यहाँ प्रत्येक पंक्तिमा तत्त्वहरूको संख्या निर्धारक संख्यासँग बराबर छ र यहाँ निर्धारक संख्या तीन छ। पहिलो पंक्ति पहिलो तीन विषम गुणांकहरू, दोस्रो पंक्ति पहिलो तीन सम गुणांकहरू र तेस्रो पंक्ति पहिलो तत्त्व शून्य र बाकी दुई तत्त्व पहिलो दुई विषम गुणांकहरू भइरहेका छन्।
निर्धारक चार: यस निर्धारकको मान,

यहाँ प्रत्येक पंक्तिमा तत्त्वहरूको संख्या निर्धारक संख्यासँग बराबर छ र यहाँ निर्धारक संख्या चार छ। पहिलो पंक्ति पहिलो चार गुणांकहरू, दोस्रो पंक्ति पहिलो चार सम गुणांकहरू, तेस्रो पंक्ति पहिलो तत्त्व शून्य र बाकी तीन तत्त्व पहिलो तीन विषम गुणांकहरू र चारौं पंक्ति पहिलो तत्त्व शून्य र बाकी तीन तत्त्व पहिलो तीन सम गुणांकहरू भइरहेका छन्।

यसी नियम फल्दा हामी निर्धारक गठनको सामान्यीकरण गर्न सक्छौं। निर्धारकको सामान्य रूप निम्न लेखिएको छ:

अब ऊपरी प्रणालीको स्थिरता पत्ता लगाउनका लागि, प्रत्येक निर्धारकको मान गणना गर्नुहोस्। प्रणाली स्थिर हुनेछ यदि र केवल यदि प्रत्येक निर्धारकको मान शून्य भन्दा ठूलो छ, यानी प्रत्येक निर्धारकको मान सकारात्मक हुनुपर्छ। यसको बाहिरका सबै अवस्थामा प्रणाली स्थिर छैन।

Routh स्थिरता शर्त

यो शर्त प्रणालीको स्थिरताको लागि बदलेको Hurwitz शर्त पनि भनिन्छ। हामी यस शर्तलाई दुई भागमा अध्ययन गर्नेछौं। भाग एकले प्रणालीको स्थिरताको आवश्यक शर्तहरू र भाग दुईले प्रणालीको स्थिरताको पर्याप्त शर्तहरू विषयक चर्चा गर्नेछ। आइयो पुनः प्रणालीको विशेषता समीकरणलाई निम्नानुसार लिन्छौं

1) भाग एक (प्रणालीको स्थिरताको आवश्यक शर्त): यहाँ हामीसँग दुई शर्तहरू छन् जुन निम्न लेखिएका छन्:

1. विशेषता समीकरणका सबै गुणांकहरू सकारात्मक र वास्तविक हुनुपर्छ।

2. विशेषता समीकरणका सबै गुणांकहरू शून्य भन्दा बडा हुनुपर्छ।

2) भाग दुई (प्रणालीको स्थिरताको पर्याप्त शर्त): आइयो पहिले Routh अ्रेको निर्माण गरौं। Routh अ्रेको निर्माण गर्नका लागि यसी चरणहरू फल्दा:

• पहिलो पंक्ति विशेषता समीकरणका सबै सम टर्महरू भइरहेको छ। उनलाई पहिलो (सम टर्म) देखि अन्तिम (सम टर्म) सम्म व्यवस्थित गर्नुहोस्। पहिलो पंक्ति निम्न लेखिएको छ: a0 a2 a4 a6…………

• दोस्रो पंक्ति विशेषता समीकरणका सबै विषम टर्महरू भइरहेको छ। उनलाई पहिलो (विषम टर्म) देखि अन्तिम (विषम टर्म) सम्म व्यवस्थित गर्नुहोस्। पहिलो पंक्ति निम्न लेखिएको छ: a1 a3 a5 a7………..

• तेस्रो पंक्तिका तत्त्वहरू निम्न ढंगले गणना गरिन सकिन्छ:
  (1) पहिलो तत्त्व : a0 लाई अगाडीको स्तम्भको विकर्ण विपरीत तत्त्व (यानी a3) सँग गुणन गर्नुहोस् त्यसपछि यसलाई a1 र a2 (जहाँ a2 अगाडीको स्तम्भको विकर्ण विपरीत तत्त्व छ) को गुणनफलबाट घटाउनुहोस् र त्यसपछि अन्तिम परिणामलाई a

  दान