Ruta Hurvica stabilitātes kritērijs

Pēc tīkla sintēzes teorijas izlasīšanas mēs varam viegli teikt, ka jebkura sistēmas pola atrodīšanās s plaknes sākumpunkta labajā pusē padara sistēmu nestabila. Ņemot vērā šo apstākli, A. Hurvica un E.J. Rauta sāka pētīt sistēmas stabilitātes nepieciešamās un pietiekamās nosacījumus. Mēs apspriedīsim divus kritērijus sistēmas stabilitātei. Pirmo kritēriju sniedza A. Hurvics, un šis kritērijs ir pazīstams arī kā Hurvica stabilitātes kritērijs vai Rauta-Hurvica (R-H) stabilitātes kritērijs.

Hurvica kritērijs

Izmantojot raksturīgo vienādojumu, mēs izveidosim daudzus Hurvica determinantus, lai noskaidrotu sistēmas stabilitāti. Mēs definējam sistēmas raksturīgo vienādojumu kā

Tagad ir n determinantu ntā kārtas raksturīgajam vienādojumam.

Izpēlēsim, kā mēs varam uzrakstīt determinantus no raksturīgā vienādojuma koeficientiem. Solis par solim procedūra ktā kārtas raksturīgā vienādojuma ir rakstīta zemāk:
Determinants pirmais : Šī determinanta vērtība ir dota ar |a1|, kur a1 ir sn-1 koeficients raksturīgajā vienādojumā.
Determinants otrs : Šī determinanta vērtība ir dota ar

Šeit katras rindas elementu skaits ir vienāds ar determinantu numuru, un mums determinanta numurs šeit ir divi. Pirmā rinda sastāv no pirmajiem diviem nepāra koeficientiem, un otrā rinda sastāv no pirmajiem diviem pāra koeficientiem.
Determinants trešais : Šī determinanta vērtība ir dota ar

Šeit katras rindas elementu skaits ir vienāds ar determinantu numuru, un mums determinanta numurs šeit ir trīs. Pirmā rinda sastāv no pirmajiem trim nepāra koeficientiem, otrā rinda sastāv no pirmajiem trim pāra koeficientiem, un trešā rinda sastāv no pirmo elementu kā nulle un pārējiem diviem elementiem kā pirmajiem diviem nepāra koeficientiem.
Determinants ceturtais: Šī determinanta vērtība ir dota ar,

Šeit katras rindas elementu skaits ir vienāds ar determinantu numuru, un mums determinanta numurs šeit ir četri. Pirmā rinda sastāv no pirmajiem četriem koeficientiem, otrā rinda sastāv no pirmajiem četriem pāra koeficientiem, trešā rinda sastāv no pirmo elementu kā nulle un pārējiem trim elementiem kā pirmajiem trim nepāra koeficientiem, un ceturtā rinda sastāv no pirmo elementu kā nulle un pārējiem trim elementiem kā pirmajiem trim pāra koeficientiem.

Sekojot tam pašam procesam, mēs varam generalizēt determinanta veidošanu. Determinanta vispārīgā forma ir dota zemāk:

Lai pārbaudītu minēto sistēmas stabilitāti, aprēķināt katra determinanta vērtību. Sistēma būs stabila tikai tad, ja katra determinanta vērtība ir lielāka par nulli, t.i., katra determinanta vērtība jābūt pozitīvai. Visos citos gadījumos sistēma nebūs stabila.

Rauta stabilitātes kritērijs

Šis kritērijs ir pazīstams arī kā modificēts Hurvica stabilitātes kritērijs. Mēs apspriedīsim šo kritēriju divās daļās. Pirmā daļa ietvers sistēmas stabilitātes nepieciešamo nosacījumu, un otra daļa ietvers sistēmas stabilitātes pietiekamo nosacījumu. Vēlreiz apsvērsim sistēmas raksturīgo vienādojumu kā

1) Pirmā daļa (sistēmas stabilitātes nepieciešamais nosacījums): Šajā daļā ir divi nosacījumi, kas ir rakstīti zemāk:

1. Visi raksturīgā vienādojuma koeficienti jābūt pozitīviem un reāliem.

2. Visi raksturīgā vienādojuma koeficienti jābūt nenulles.

2) Otrā daļa (sistēmas stabilitātes pietiekamais nosacījums): Īstenojot Rauta tabulu, sekot šādiem soļiem:

• Pirmā rinda sastāv no visiem pāra terminiem raksturīgā vienādojumā. Izkārto tos no pirmā (pāra termina) līdz pēdējam (pāra terminam). Pirmā rinda ir rakstīta zemāk: a0 a2 a4 a6…………

• Otrā rinda sastāv no visiem nepāra terminiem raksturīgā vienādojumā. Izkārto tos no pirmā (nepāra termina) līdz pēdējam (nepāra terminam). Pirmā rinda ir rakstīta zemāk: a1 a3 a5 a7………..

• Trešās rindas elementi var tikt aprēķināti kā:
  (1) Pirmais elements : Reizināt a0 ar diagonāli pretējo elementu nākamajā kolonnā (t.i. a3) pēc tam atņemt šo no reizinājuma a1 un a2 (kur a2 ir diagonāli pretējs elements nākamajā kolonnā) un pēc tam beidzot dalīt rezultātu, ko ieguva, ar a1. Matemātiski mēs rakstām kā pirmo elementu

(2) Otrais elements : Reizināt a0 ar diagonāli pretējo elementu nākamajā kolonnā (t.i. a5) pēc tam atņemt šo no reizinājuma a1 un a4 (kur, a4 ir diagonāli pretējs elements nākamajā kolonnā) un pēc tam beidzot dalīt rezultātu, ko ieguva, ar a1. Matemātiski mēs rakstām kā otro elementu

Līdzīgi mēs varam aprēķināt visus trešās rindas elementus.
(d) Ceturtās rindas elementi var tikt aprēķināti, izmantojot šādu procedūru:
(1) Pirmais elements : Reizināt b1 ar diagonāli pretējo elementu nākamajā kolonnā (t.i. a