Critère de stabilité de Routh-Hurwitz

Après avoir étudié la théorie de la synthèse des réseaux, nous pouvons facilement dire que si un pôle du système se trouve à droite de l'origine du plan s, cela rend le système instable. Sur la base de cette condition, A. Hurwitz et E.J. Routh ont commencé à enquêter sur les conditions nécessaires et suffisantes de stabilité d'un système. Nous discuterons de deux critères de stabilité du système. Le premier critère est donné par A. Hurwitz et ce critère est également connu sous le nom de Critère de Stabilité de Hurwitz ou Critère de Stabilité de Routh Hurwitz (R-H).

Critère de Hurwitz

Avec l'aide de l'équation caractéristique, nous allons créer un certain nombre de déterminants de Hurwitz afin de déterminer la stabilité du système. Nous définissons l'équation caractéristique du système comme suit

Il y a n déterminants pour une équation caractéristique d'ordre n.

Voyons comment nous pouvons écrire des déterminants à partir des coefficients de l'équation caractéristique. La procédure étape par étape pour une équation caractéristique d'ordre k est écrite ci-dessous:
Déterminant un : La valeur de ce déterminant est donnée par |a1| où a1 est le coefficient de sn-1 dans l'équation caractéristique.
Déterminant deux : La valeur de ce déterminant est donnée par

Le nombre d'éléments dans chaque ligne est égal au numéro du déterminant, et ici le numéro du déterminant est deux. La première ligne contient les deux premiers coefficients impairs, et la deuxième ligne contient les deux premiers coefficients pairs.
Déterminant trois : La valeur de ce déterminant est donnée par

Le nombre d'éléments dans chaque ligne est égal au numéro du déterminant, et ici le numéro du déterminant est trois. La première ligne contient les trois premiers coefficients impairs, la deuxième ligne contient les trois premiers coefficients pairs, et la troisième ligne contient le premier élément comme zéro et les deux éléments restants comme les deux premiers coefficients impairs.
Déterminant quatre: La valeur de ce déterminant est donnée par,

Le nombre d'éléments dans chaque ligne est égal au numéro du déterminant, et ici le numéro du déterminant est quatre. La première ligne contient les quatre premiers coefficients, la deuxième ligne contient les quatre premiers coefficients pairs, la troisième ligne contient le premier élément comme zéro et les trois éléments restants comme les trois premiers coefficients impairs, et la quatrième ligne contient le premier élément comme zéro et les trois éléments restants comme les trois premiers coefficients pairs.

En suivant la même procédure, nous pouvons généraliser la formation des déterminants. La forme générale du déterminant est donnée ci-dessous:

Pour vérifier la stabilité du système ci-dessus, calculez la valeur de chaque déterminant. Le système sera stable si et seulement si la valeur de chaque déterminant est supérieure à zéro, c'est-à-dire que la valeur de chaque déterminant doit être positive. Dans tous les autres cas, le système ne sera pas stable.

Critère de Stabilité de Routh

Ce critère est également connu sous le nom de Critère de Stabilité de Routh modifié. Nous étudierons ce critère en deux parties. La première partie couvrira la condition nécessaire pour la stabilité du système, et la deuxième partie couvrira la condition suffisante pour la stabilité du système. Considérons à nouveau l'équation caractéristique du système comme suit

1) Première partie (condition nécessaire pour la stabilité du système): Dans cette partie, nous avons deux conditions qui sont décrites ci-dessous:

1. Tous les coefficients de l'équation caractéristique doivent être positifs et réels.

2. Tous les coefficients de l'équation caractéristique doivent être non nuls.

2) Deuxième partie (condition suffisante pour la stabilité du système): Construisons d'abord le tableau de Routh. Pour construire le tableau de Routh, suivez ces étapes:

• La première ligne contiendra tous les termes pairs de l'équation caractéristique. Arrangez-les du premier (terme pair) au dernier (terme pair). La première ligne est écrite ci-dessous: a0 a2 a4 a6…………

• La deuxième ligne contiendra tous les termes impairs de l'équation caractéristique. Arrangez-les du premier (terme impair) au dernier (terme impair). La deuxième ligne est écrite ci-dessous: a1 a3 a5 a7………..

• Les éléments de la troisième ligne peuvent être calculés comme suit:
  (1) Premier élément : Multipliez a0 par l'élément diagonalement opposé de la colonne suivante (c'est-à-dire a3) puis soustrayez ce produit de celui de a1 et a2 (où a2 est l'élément diagonalement opposé de la colonne suivante) et divisez finalement le résultat obtenu par a1. Mathématiquement, nous écrivons le premier élément

(2) Deuxième élément : Multipliez a0 par l'élément diagonalement opposé de la colonne suivante (c'est-à-dire a5) puis soustrayez ce produit de celui de a1 et a4 (où, a4 est l'élément diagonalement opposé de la colonne suivante) et divisez finalement le résultat obtenu par a1. Mathématiquement, nous écrivons le deuxième élément

De la même manière, nous pouvons calculer tous les éléments de la troisième ligne.
(d) Les éléments de la quatrième ligne peuvent être calculés en utilisant la procédure suivante:
(1) Premier élément : Multipliez b1 par l'élément diagonalement opposé de la colonne suivante (c'est-à-dire a3) puis soustrayez ce produit de celui de a1 et b2 (où, b2 est l'élément diagonalement opposé de la colonne suivante) et divisez finalement le résultat obtenu par b1. Mathématiquement, nous écrivons le premier élément

(2) Deuxième élément : Multipliez b