Routh Hurwitz Stabilitetskriterie

Efter at have læst teorien om netværks syntese, kan vi nemt sige, at enhver pol for systemet, der ligger på højre side af origo i s-planen, gør systemet ustabil. På grundlag af denne betingelse begyndte A. Hurwitz og E.J. Routh at undersøge de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for et systems stabilitet. Vi vil drøfte to kriterier for systemets stabilitet. Det første kriterium er givet af A. Hurwitz, og dette kriterium er også kendt som Hurwitz Kriteriet for stabilitet eller Routh-Hurwitz (R-H) Stabilitetskriterium.

Hurwitz Kriterium

Med hjælp fra karakteristiske ligninger vil vi oprette en række Hurwitz-determinanter for at finde ud af systemets stabilitet. Vi definerer systemets karakteristiske ligning som

Nu er der n determinanter for en nte ordens karakteristisk ligning.

Lad os se, hvordan vi kan skrive determinanter fra koefficienterne i den karakteristiske ligning. Den trin-for-trin procedure for en kte ordens karakteristisk ligning er skrevet nedenfor:
Determinant en : Værdien af denne determinant er givet ved |a1| hvor a1 er koefficienten for sn-1 i den karakteristiske ligning.
Determinant to : Værdien af denne determinant er givet ved

Her er antallet af elementer i hver række lig med determinantnummeret, og vi har determinantnummeret her er to. Den første række består af de første to ulige koefficienter, og den anden række består af de første to lige koefficienter.
Determinant tre : Værdien af denne determinant er givet ved

Her er antallet af elementer i hver række lig med determinantnummeret, og vi har determinantnummeret her er tre. Den første række består af de første tre ulige koefficienter, den anden række består af de første tre lige koefficienter, og den tredje række består af det første element som nul og resten af de to elementer som de første to ulige koefficienter.
Determinant fire: Værdien af denne determinant er givet ved,

Her er antallet af elementer i hver række lig med determinantnummeret, og vi har determinantnummeret her er fire. Den første række består af de første fire koefficienter, den anden række består af de første fire lige koefficienter, den tredje række består af det første element som nul og resten af de tre elementer som de første tre ulige koefficienter, og den fjerde række består af det første element som nul og resten af de tre elementer som de første tre lige koefficienter.

Ved at følge samme procedure kan vi generalisere determinantopbygningen. Den generelle form for determinant er givet nedenfor:

For at kontrollere ovenstående systems stabilitet, beregn værdien af hver determinant. Systemet vil være stabilt, hvis og kun hvis værdien af hver determinant er større end nul, dvs. værdien af hver determinant skal være positiv. I alle andre tilfælde vil systemet ikke være stabilt.

Routh Stabilitetskriterium

Dette kriterium er også kendt som det modificerede Hurwitz Kriterium for systemets stabilitet. Vi vil studere dette kriterium i to dele. Del en vil dække den nødvendige betingelse for systemets stabilitet, og del to vil dække den tilstrækkelige betingelse for systemets stabilitet. Lad os igen overveje systemets karakteristiske ligning som

1) Del en (den nødvendige betingelse for systemets stabilitet): Her har vi to betingelser, der er skrevet nedenfor:

1. Alle koefficienterne i den karakteristiske ligning skal være positive og reelle.

2. Alle koefficienterne i den karakteristiske ligning skal være forskellige fra nul.

2) Del to (den tilstrækkelige betingelse for systemets stabilitet): Lad os først konstruere Routh-arrayet. For at konstruere Routh-arrayet, følg disse trin:

• Den første række vil bestå af alle de lige led i den karakteristiske ligning. Ordner dem fra det første (lige led) til det sidste (lige led). Den første række er skrevet nedenfor: a0 a2 a4 a6…………

• Den anden række vil bestå af alle de ulige led i den karakteristiske ligning. Ordner dem fra det første (ulige led) til det sidste (ulige led). Den anden række er skrevet nedenfor: a1 a3 a5 a7………..

• Elementerne i den tredje række kan beregnes som:
  (1) Første element : Multiplicer a0 med diagonalt modsatte element i næste kolonne (dvs. a3) og træk derefter dette fra produktet af a1 og a2 (hvor a2 er diagonalt modsat element i næste kolonne) og divider derefter resultatet så opnået med a1. Matematisk skriver vi det første element som

(2) Andet element : Multiplicer a0 med diagonalt modsat element i næste til næste kolonne (dvs. a5) og træk derefter dette fra produktet af a1 og a4 (hvor, a4 er diagonalt modsat element i næste til næste kolonne) og divider derefter resultatet så opnået med a1. Matematisk skriver vi det andet element som

På samme måde kan vi beregne alle elementerne i den tredje række.
(d) Elementerne i den fjerde række kan beregnes ved at bruge følgende procedure:
(1) Første element : Multiplicer b1 med diagonalt modsat element i næste kolonne (dvs. a3) og træk derefter dette fra produktet af a1 og b2 (hvor, b2 er diagonalt modsat element i næste kolonne) og divider derefter resultatet så opnået med b1. Matematisk skriver vi det første element som