Kriteryong Estabilidad ni Routh-Hurwitz

Matapos basahin ang teorya ng network synthesis, madali nating masasabi na anumang pole ng sistema na nasa kanan ng pinagmulan ng s plane ay nagpapabigay-daan sa pagiging hindi matatag ng sistema. Batay sa kondisyong ito, si A. Hurwitz at E.J. Routh ay nagsimulang imbestigasyon tungkol sa kinakailangan at sapat na kondisyon para sa estabilidad ng isang sistema. Ipaglaban natin ang dalawang kriteryo para sa estabilidad ng sistema. Ang unang kriteryo ay ibinigay ni A. Hurwitz at kilala rin ito bilang Kriteryo ng Estabilidad ni Hurwitz o Kriteryo ng Estabilidad ni Routh Hurwitz (R-H).

Kriteryo ni Hurwitz

Sa tulong ng characteristic equation, gagawa tayo ng maraming determinant ni Hurwitz upang makilala ang estabilidad ng sistema. Inilalarawan natin ang characteristic equation ng sistema bilang

Ngayon mayroong n determinants para sa nth order characteristic equation.

Tingnan natin kung paano maaari nating isulat ang mga determinant mula sa mga coefficient ng characteristic equation. Ang step by step procedure para sa kth order characteristic equation ay isinulat sa ibaba:
Determinant one : Ang halaga ng determinant na ito ay ibinigay ng |a1| kung saan ang a1 ay ang coefficient ng sn-1 sa characteristic equation.
Determinant two : Ang halaga ng determinant na ito ay ibinigay ng

Dito, ang bilang ng mga elemento sa bawat row ay katumbas ng bilang ng determinant at meron tayong bilang ng determinant dito na dalawa. Ang unang row ay binubuo ng unang dalawang odd coefficients at ang pangalawang row ay binubuo ng unang dalawang even coefficients.
Determinant three : Ang halaga ng determinant na ito ay ibinigay ng

Dito, ang bilang ng mga elemento sa bawat row ay katumbas ng bilang ng determinant at meron tayong bilang ng determinant dito na tatlo. Ang unang row ay binubuo ng unang tatlong odd coefficients, ang pangalawang row ay binubuo ng unang tatlong even coefficients at ang ikatlong row ay binubuo ng unang elemento na zero at ang natitirang dalawang elemento ay unang dalawang odd coefficients.
Determinant four: Ang halaga ng determinant na ito ay ibinigay ng,

Dito, ang bilang ng mga elemento sa bawat row ay katumbas ng bilang ng determinant at meron tayong bilang ng determinant dito na apat. Ang unang row ay binubuo ng unang apat na coefficients, ang pangalawang row ay binubuo ng unang apat na even coefficients, ang ikatlong row ay binubuo ng unang elemento na zero at ang natitirang tatlong elemento ay unang tatlong odd coefficients at ang ikaapat na row ay binubuo ng unang elemento na zero at ang natitirang tatlong elemento ay unang tatlong even coefficients.

Sa pamamagitan ng pagsunod sa parehong proseso, maaari nating heneralisa ang pagbuo ng determinant. Ang general form ng determinant ay ibinigay sa ibaba:

Ngayon, upang suriin ang estabilidad ng nabanggit na sistema, kalkulahin ang halaga ng bawat determinant. Ang sistema ay magiging matatag kung at kung lamang ang halaga ng bawat determinant ay mas malaki kaysa sa zero, o ang halaga ng bawat determinant ay dapat positibo. Sa lahat ng ibang kaso, ang sistema ay hindi matatag.

Kriteryo ng Estabilidad ni Routh

Ang kriteryong ito ay kilala rin bilang modified Hurwitz Criterion of stability ng sistema. Ipaglaban natin ang kriteryong ito sa dalawang bahagi. Ang unang bahagi ay tutugon sa kinakailangang kondisyon para sa estabilidad ng sistema at ang ikalawang bahagi ay tutugon sa sapat na kondisyon para sa estabilidad ng sistema. Tingnan natin muli ang characteristic equation ng sistema bilang

1) Unang bahagi (kinakailangang kondisyon para sa estabilidad ng sistema): Dito mayroon tayong dalawang kondisyon na isinulat sa ibaba:

1. Ang lahat ng mga coefficient ng characteristic equation ay dapat positibo at real.

2. Ang lahat ng mga coefficient ng characteristic equation ay dapat non-zero.

2) Ikalawang bahagi (sapat na kondisyon para sa estabilidad ng sistema): Unawain natin muna ang routh array. Upang mabuo ang routh array, sundin ang mga sumusunod na hakbang:

• Ang unang row ay maglalaman ng lahat ng even terms ng characteristic equation. Ayusin sila mula sa unang (even term) hanggang sa huling (even term). Ang unang row ay isinulat sa ibaba: a0 a2 a4 a6…………

• Ang pangalawang row ay maglalaman ng lahat ng odd terms ng characteristic equation. Ayusin sila mula sa unang (odd term) hanggang sa huling (odd term). Ang pangalawang row ay isinulat sa ibaba: a1 a3 a5 a7………..

• Ang mga elemento ng ikatlong row ay maaaring maiproseso bilang:
  (1) Unang elemento : I-multiply ang a0 sa diagonally opposite element ng susunod na column (i.e. a3) pagkatapos ay i-subtract ito mula sa product ng a1 at a2 (kung saan ang a2 ay diagonally opposite element ng susunod na column) at pagkatapos ay finally divide ang result na nakuha sa a1. Mathematically, isinusulat natin ang unang elemento

(2) Ikalawang elemento : I-multiply ang a0 sa diagonally opposite element ng susunod na column (i.e. a5) pagkatapos ay i-subtract ito mula sa product ng a1 at a4 (kung saan, a4 ay diagonally opposite element ng susunod na column) at pagkatapos ay finally divide ang result na nakuha sa a1. Mathematically, isinusulat natin ang ikalawang elemento

Pareho rin, maaari nating kalkulahin ang lahat ng mga elemento ng ikatlong row.
(d) Ang mga elemento ng ikaapat na row ay maaaring maiproseso gamit ang sumusunod na paraan:
(1) Unang elemento : I-multiply ang b1 sa diagonally opposite element ng susunod na column (i.e. a3) pagkatapos ay i-subtract ito mula sa product ng a1 at b2 (kung saan, b2 ay diagonally opposite element ng susunod na column) at pagkatapos ay finally divide ang result na nakuha sa b1. Mathematically, isinusulat natin ang unang elemento