Routh Hurwitz Stabiilisuuskriteeri

Verkostosynteesin teorian lukemisen jälkeen voimme helposti sanoa, että jos järjestelmän mikä tahansa piste sijaitsee s-tason origon oikealla puolella, se tekee järjestelmästä epävakaan. Tämän ehdon perusteella A. Hurwitz ja E.J. Routh alkoivat tutkia järjestelmän vakaudesta edellyttäviä ja riittäviä ehtoja. Keskustelemme kahdesta vakauden kriteeristä. Ensimmäinen kriteeri on antanut A. Hurwitz, ja tätä kriteeriä kutsutaan myös Hurwitzin vakauskriteeriksi tai Routhin–Hurwitzin (R-H) vakauskriteeriksi.

Hurwitzin kriteeri

Määrittelemällä järjestelmän karakteristisen yhtälön, muodostamme useita Hurwitzin determinantteja järjestelmän vakauden löytämiseksi. Määrittelemme järjestelmän karakteristisen yhtälön seuraavasti

Nyt on n determinanttia n:nnen asteen karakteristiselle yhtälölle.

Katsotaan, miten voimme kirjoittaa determinantit karakteristisen yhtälön kertoimista. Vaiheittainen menettely k:nnen asteen karakteristiselle yhtälölle on kirjoitettu alla:
Determinantti yksi : Tämän determinantin arvo on |a1|, missä a1 on s:n kerroin karakteristisessa yhtälössä.
Determinantti kaksi : Tämän determinantin arvo on

Tässä jokaisen rivin elementtien määrä on sama kuin determinantin numero, ja tässä determinantin numero on kaksi. Ensimmäinen rivi koostuu ensimmäisistä kahdesta parittomasta kertoimesta, ja toinen rivi koostuu ensimmäisistä kahdesta parillisesta kertoimesta.
Determinantti kolme : Tämän determinantin arvo on

Tässä jokaisen rivin elementtien määrä on sama kuin determinantin numero, ja tässä determinantin numero on kolme. Ensimmäinen rivi koostuu ensimmäisistä kolmesta parittomasta kertoimesta, toinen rivi koostuu ensimmäisistä kolmesta parillisesta kertoimesta, ja kolmas rivi koostuu ensimmäisestä elementistä nollana ja muista kahdesta elementistä ensimmäisistä kahdesta parittomasta kertoimesta.
Determinantti neljä: Tämän determinantin arvo on,

Tässä jokaisen rivin elementtien määrä on sama kuin determinantin numero, ja tässä determinantin numero on neljä. Ensimmäinen rivi koostuu ensimmäisistä neljästä kertoimesta, toinen rivi koostuu ensimmäisistä neljästä parillisesta kertoimesta, kolmas rivi koostuu ensimmäisestä elementistä nollana ja muista kolmesta elementistä ensimmäisistä kolmesta parittomasta kertoimesta, ja neljäs rivi koostuu ensimmäisestä elementistä nollana ja muista kolmesta elementistä ensimmäisistä kolmesta parillisesta kertoimesta.

Seuraamalla samaa menettelyä voimme yleistää determinantin muodostamisen. Determinantin yleinen muoto on alla:

Jotta voimme tarkistaa yllä mainitun järjestelmän vakauden, lasketaan jokaisen determinantin arvo. Järjestelmä on vakaa vain, jos jokaisen determinantin arvo on suurempi kuin nolla, eli jokaisen determinantin arvon pitää olla positiivinen. Kaikissa muissa tapauksissa järjestelmä ei ole vakaa.

Routhin vakauskriteeri

Tätä kriteeriä kutsutaan myös muutetun Hurwitzin vakauskriteerinä. Tutkimme tätä kriteeriä kahteen osaan. Ensimmäinen osa kattaa vakaudesta edellyttävät ehdot, ja toinen osa kattaa riittävät ehdot järjestelmän vakauteen. Katsotaan taas järjestelmän karakteristista yhtälöä seuraavasti

1) Osa yksi (vakaudesta edellyttävät ehdot): Tässä meillä on kaksi ehtoa, jotka on kirjoitettu alla:

1. Kaikkien karakteristisen yhtälön kertoimien pitää olla positiivisia ja reaalisia.

2. Kaikkien karakteristisen yhtälön kertoimien pitää olla nollasta poikkeavia.

2) Osa kaksi (riittävät ehdot vakaudesta): Rakennetaan ensin Routhin taulukko. Routhin taulukon rakentamiseksi seuraamme näitä vaiheita:

• Ensimmäinen rivi koostuu kaikista karakteristisen yhtälön parillisista termeistä. Järjestetään ne ensimmäisestä (parillisesta termistä) viimeiseen (parillisesti termiin). Ensimmäinen rivi on kirjoitettu alla: a0 a2 a4 a6…………

• Toinen rivi koostuu kaikista karakteristisen yhtälön parittomista termeistä. Järjestetään ne ensimmäisestä (parittomasta termistä) viimeiseen (parittomaan termiin). Toinen rivi on kirjoitettu alla: a1 a3 a5 a7………..

• Kolmannen rivin elementit voidaan laskea seuraavasti:
  (1) Ensimmäinen elementti : Kerro a0 diagonaalisesti vastakkaisen elementin kanssa seuraavassa sarakkeessa (eli a3) ja vähennä tämä a1:n ja a2:n tulosta (missä a2 on diagonaalisesti vastakkain seuraavan sarakkeen elementti) ja jakaa lopuksi saadun tuloksen a1:llä. Matemaattisesti kirjoitamme ensimmäisen elementin

(2) Toinen elementti : Kerro a0 diagonaalisesti vastakkaisen elementin kanssa seuraavassa sarakkeessa (eli a5) ja vähennä tämä a1:n ja a4:n tulosta (missä a4 on diagonaalisesti vastakkain seuraavan sarakkeen elementti) ja jakaa lopuksi saadun tuloksen a1:llä. Matemaattisesti kirjoitamme toisen elementin

Vastaavasti voimme laskea kaikki kolmannen rivin elementit.
(d) Neljännen rivin elementit voidaan laskea seuraavalla menettelyllä:
(1) Ensimmäinen elementti : Kerro b1 diagonaalisesti vastakkaisen elementin kanssa seuraavassa sarakkeessa (eli a3) ja vähennä tämä a1:n ja b2:n tulosta (missä b2 on diagonaalisesti vastakkain seuraavan sarakkeen elementti) ja jakaa lopuksi saadun tuloksen b1:llä. Matemaattisesti kirjoitamme ensimmäisen elementin