Routh-Hurwitz 안정성 기준
네트워크 합성 이론을 읽은 후, 우리는 시스템의 임의의 극이 s 평면의 원점 오른쪽에 위치하면 시스템이 불안정하다는 것을 쉽게 말할 수 있습니다. 이러한 조건을 바탕으로 A. 허위츠와 E.J. 라우스는 시스템의 안정성을 위한 필요 충분 조건을 조사하기 시작했습니다. 우리는 시스템의 안정성을 위한 두 가지 기준을 논의할 것입니다. 첫 번째 기준은 A. 허위츠가 제시한 것으로, 이 기준은 허위츠 안정성 기준 또는 라우스-허위츠 (R-H) 안정성 기준으로도 알려져 있습니다.
허위츠 기준
특성 방정식을 사용하여 시스템의 안정성을 알아보기 위해 여러 개의 허위츠 행렬식을 만들 것입니다. 시스템의 특성 방정식을 다음과 같이 정의합니다.
n차 특성 방정식에는 n개의 행렬식이 있습니다.
특성 방정식의 계수로부터 어떻게 행렬식을 작성할 수 있는지 살펴보겠습니다. k차 특성 방정식에 대한 단계별 절차는 다음과 같습니다:
행렬식 하나: 이 행렬식의 값은 |a1|로 주어집니다. 여기서 a1은 특성 방정식에서 sn-1의 계수입니다.
행렬식 두 개: 이 행렬식의 값은
각 행의 요소 수는 행렬식 번호와 동일하며, 여기서 행렬식 번호는 2입니다. 첫 번째 행은 첫 번째 두 홀수 계수로 구성되고, 두 번째 행은 첫 번째 두 짝수 계수로 구성됩니다.
행렬식 세 개: 이 행렬식의 값은
각 행의 요소 수는 행렬식 번호와 동일하며, 여기서 행렬식 번호는 3입니다. 첫 번째 행은 첫 번째 세 홀수 계수로 구성되고, 두 번째 행은 첫 번째 세 짝수 계수로 구성되며, 세 번째 행은 첫 번째 요소가 0이고 나머지 두 요소가 첫 번째 두 홀수 계수입니다.
행렬식 네 개: 이 행렬식의 값은
각 행의 요소 수는 행렬식 번호와 동일하며, 여기서 행렬식 번호는 4입니다. 첫 번째 행은 첫 번째 세 계수로 구성되고, 두 번째 행은 첫 번째 세 짝수 계수로 구성되며, 세 번째 행은 첫 번째 요소가 0이고 나머지 세 요소가 첫 번째 세 홀수 계수이며, 네 번째 행은 첫 번째 요소가 0이고 나머지 세 요소가 첫 번째 세 짝수 계수입니다.
동일한 절차를 따르면 행렬식 형성을 일반화할 수 있습니다. 행렬식의 일반 형태는 다음과 같습니다:
위 시스템의 안정성을 확인하려면 각 행렬식의 값을 계산해야 합니다. 모든 행렬식의 값이 0보다 크다면, 즉 모든 행렬식의 값이 양수라면 시스템은 안정적입니다. 그 외의 경우 시스템은 안정적이지 않습니다.
라우스 안정성 기준
이 기준은 또한 시스템의 안정성을 위한 수정된 허위츠 기준으로 알려져 있습니다. 우리는 이 기준을 두 부분으로 연구할 것입니다. 첫 번째 부분은 시스템의 안정성을 위한 필요 조건을 다루고, 두 번째 부분은 시스템의 안정성을 위한 충분 조건을 다룹니다. 다시 한 번 시스템의 특성 방정식을 다음과 같이 고려해 보겠습니다.
1) 첫 번째 부분 (시스템의 안정성을 위한 필요 조건): 이 부분에서는 다음 두 가지 조건이 있습니다:
특성 방정식의 모든 계수가 양수이고 실수여야 합니다.
특성 방정식의 모든 계수가 0이 아니어야 합니다.
2) 두 번째 부분 (시스템의 안정성을 위한 충분 조건): 먼저 라우스 배열을 구성합시다. 라우스 배열을 구성하려면 다음 단계를 따르세요:
첫 번째 행은 특성 방정식의 모든 짝수 항으로 구성됩니다. 첫 번째 (짝수 항)부터 마지막 (짝수 항)까지 순서대로 배열합니다. 첫 번째 행은 다음과 같습니다: a0 a2 a4 a6…………
두 번째 행은 특성 방정식의 모든 홀수 항으로 구성됩니다. 첫 번째 (홀수 항)부터 마지막 (홀수 항)까지 순서대로 배열합니다. 두 번째 행은 다음과 같습니다: a1 a3 a5 a7………..
세 번째 행의 요소는 다음과 같이 계산할 수 있습니다:
(1) 첫 번째 요소 : a0 를 다음 열의 대각선으로 반대되는 요소 (즉, a3)와 곱한 다음, 이를 a1 와 a2 (여기서 a2 는 다음 열의 대각선으로 반대되는 요소)의 곱에서 뺀 다음, 결과를 a1로 나눕니다. 수학적으로 첫 번째 요소는 다음과 같습니다
(2) 두 번째 요소 : a0를 다음 열의 대각선으로 반대되는 요소 (즉, a5)와 곱한 다음, 이를 a1와 a4 (여기서 a4는 다음 열의 대각선으로 반대되는 요소)의 곱에서 뺀 다음, 결과를 a1로 나눕니다. 수학적으로 두 번째 요소는 다음과 같습니다
마찬가지로, 세 번째 행의 모든 요소를 계산할 수 있습니다.
(d) 네 번째 행의 요소는 다음 절차를 사용하여 계산할 수 있습니다:
(1) 첫 번째 요소 : b1를 다음 열의 대각선으로 반대되는 요소 (즉, a3)와 곱한 다음, 이를 a1와 b2 (여기서 b2는 다음 열의 대각선으로 반대되는 요소)의 곱에서 뺀 다음, 결과를 b1로 나눕니다. 수학적으로 첫 번째 요소는 다음과 같습니다
(2) 두 번째 요소 : b1를 다음 열의 대각선으로 반대되는 요소 (즉, a
