Kriterijum stabilnosti Routh-Hurwitz

Nakon čitanja teorije sinteze mreže, možemo lako reći da bilo koji pol sistema koji se nalazi desno od ishodišta s ravni, čini sistem nestabilnim. Na osnovu ovog uslova, A. Hurwitz i E.J. Routh su počeli da istražuju neophodne i dovoljne uslove stabilnosti sistema. Razmotrićemo dva kriterijuma za stabilnost sistema. Prvi kriterijum je dat od strane A. Hurwitza, i taj kriterijum je poznat kao Hurwitzov kriterijum stabilnosti ili Routh-Hurwitz (R-H) kriterijum stabilnosti.

Hurwitzov kriterijum

Pomoću karakteristične jednačine, formirati ćemo niz Hurwitzovih determinanti kako bismo utvrdili stabilnost sistema. Definisali smo karakterističnu jednačinu sistema kao

Sada postoje n determinanti za n-ti red karakteristične jednačine.

Vidimo kako možemo pisati determinante iz koeficijenata karakteristične jednačine. Korak po korak postupak za k-ti red karakteristične jednačine napisan je ispod:
Prva determinanta : Vrednost ove determinante data je sa |a1| gde je a1 koeficijent sn-1 u karakterističnoj jednačini.
Druga determinanta : Vrednost ove determinante data je sa

Broj elemenata u svakom redu jednak je broju determinante, a ovde imamo drugu determinantu. Prvi red sadrži prva dva neparna koeficijenta, a drugi red prva dva parna koeficijenta.
Treća determinanta : Vrednost ove determinante data je sa

Broj elemenata u svakom redu jednak je broju determinante, a ovde imamo treću determinantu. Prvi red sadrži prva tri neparna koeficijenta, drugi red prva tri parna koeficijenta, a treći red ima prvi element nula, a ostala dva elementa su prva dva neparna koeficijenta.
Četvrta determinanta: Vrednost ove determinante data je sa,

Broj elemenata u svakom redu jednak je broju determinante, a ovde imamo četvrtu determinantu. Prvi red sadrži prva četiri koeficijenta, drugi red prva četiri parna koeficijenta, treći red ima prvi element nula, a ostala tri elementa su prva tri neparna koeficijenta, a četvrti red ima prvi element nula, a ostala tri elementa su prva tri parna koeficijenta.

Sledenjem istog postupka možemo generalizovati formiranje determinante. Opšti oblik determinante dat je ispod:

Da bismo proverili stabilnost gornjeg sistema, izračunati ćemo vrednost svake determinante. Sistem će biti stabilan ako i samo ako je vrednost svake determinante veća od nule, tj. vrednost svake determinante treba da bude pozitivna. U svim ostalim slučajevima sistem neće biti stabilan.

Routhov kriterijum stabilnosti

Ovaj kriterijum je poznat i kao modifikovani Hurwitzov kriterijum stabilnosti sistema. Istražićemo ovaj kriterijum u dva dela. Prvi deo će pokrivati neophodne uslove za stabilnost sistema, a drugi deo dovoljne uslove za stabilnost sistema. Ponovo razmotrimo karakterističnu jednačinu sistema kao

1) Prvi deo (neophodni uslovi za stabilnost sistema): Ovde imamo dva uslova koji su navedeni ispod:

1. Svi koeficijenti karakteristične jednačine treba da budu pozitivni i realni.

2. Svi koeficijenti karakteristične jednačine treba da budu nenulte vrednosti.

2) Drugi deo (dovoljni uslovi za stabilnost sistema): Prvo konstruisaćemo Routhovu tabelu. Da biste konstruisali Routhovu tabelu, pratite sledeće korake:

• Prvi red će sadržati sve parne članove karakteristične jednačine. Poredajte ih od prvog (parnog člana) do poslednjeg (parnog člana). Prvi red napisan je ispod: a0 a2 a4 a6…………

• Drugi red će sadržati sve neparne članove karakteristične jednačine. Poredajte ih od prvog (neparnog člana) do poslednjeg (neparnog člana). Prvi red napisan je ispod: a1 a3 a5 a7………..

• Elementi trećeg reda mogu se izračunati na sledeći način:
  (1) Prvi element : Pomnožite a0 s dijagonalno suprotnim elementom sledeće kolone (tj. a3) zatim oduzmite to od proizvoda a1 i a2 (gde je a2 dijagonalno suprotan element sledeće kolone) i zatim konačno podelite rezultat tako dobijen sa a1. Matematički pišemo prvi element

(2) Drugi element : Pomnožite a0 s dijagonalno suprotnim elementom sledeće kolone (tj. a5) zatim oduzmite to od proizvoda a1 i a4 (gde je a4 dijagonalno suprotan element sledeće kolone) i zatim konačno podelite rezultat tako dobijen sa a1. Matematički pišemo drugi element

Slično, možemo izračunati sve elemente trećeg reda.
(d) Elementi četvrtog reda mogu se izračunati koristeći sledeći postupak:
(1) Prvi element : Pomnožite b1 s dijagonalno suprotnim elementom sledeće kolone (tj. a3) zatim oduzmite to od proizvoda a1 i b2 (gde je b2 dijagonalno suprotan element sledeće kolone) i zatim konačno podelite rezultat tako dobijen sa b1. Matematički pišemo prvi element