Kriterij stabilnosti Routh-Hurwitz

Nakon što smo pročitali teoriju sinteze mreže, lako možemo reći da ako se bilo koja pola sustava nalazi desno od ishodišta s-ravnine, to čini sustav nestabilnim. Na temelju ove uvjete A. Hurwitz i E.J. Routh su počeli istraživati nužne i dovoljne uvjete stabilnosti sustava. Raspravit ćemo o dva kriterija stabilnosti sustava. Prvi kriterij dao je A. Hurwitz, a ovaj kriterij također se naziva Hurwitzov kriterij stabilnosti ili Routh-Hurwitz (R-H) kriterij stabilnosti.

Hurwitzov kriterij

Pomoću karakteristične jednadžbe, stvorit ćemo nekoliko Hurwitzovih determinanti kako bismo utvrdili stabilnost sustava. Definiramo karakterističnu jednadžbu sustava kao

Sada postoje n determinanti za nti red karakteristične jednadžbe.

Vidjet ćemo kako možemo pisati determinante iz koeficijenata karakteristične jednadžbe. Korak po korak postupak za kti red karakteristične jednadžbe naveden je u nastavku:
Determinanta prva : Vrijednost ove determinante dana je sa |a1| gdje je a1 koeficijent sn-1 u karakterističnoj jednadžbi.
Determinanta druga : Vrijednost ove determinante dana je sa

Broj elemenata u svakom retku jednak je broju determinante, a imamo determinantu broj dva. Prvi red sastoji se od prvih dvaju neparnih koeficijenata, a drugi red sastoji se od prvih dvaju parnih koeficijenata.
Determinanta treća : Vrijednost ove determinante dana je sa

Broj elemenata u svakom retku jednak je broju determinante, a imamo determinantu broj tri. Prvi red sastoji se od prvih tri neparnih koeficijenata, drugi red sastoji se od prvih tri parnih koeficijenata, a treći red sastoji se od prvog elementa kao nule i ostala dva elementa kao prvih dva neparna koeficijenta.
Determinanta četvrta: Vrijednost ove determinante dana je sa,

Broj elemenata u svakom retku jednak je broju determinante, a imamo determinantu broj četiri. Prvi red sastoji se od prvih četiri koeficijenata, drugi red sastoji se od prvih četiri parnih koeficijenata, treći red sastoji se od prvog elementa kao nule i ostalih tri elementa kao prvih tri neparna koeficijenta, a četvrti red sastoji se od prvog elementa kao nule i ostalih tri elementa kao prvih tri parna koeficijenta.

Slijedeći isti postupak, možemo generalizirati formiranje determinante. Opća forma determinante dana je u nastavku:

Sada, kako bismo provjerili stabilnost gornjeg sustava, izračunajte vrijednost svake determinante. Sustav će biti stabilan samo ako je vrijednost svake determinante veća od nule, tj. vrijednost svake determinante treba biti pozitivna. U svim ostalim slučajevima, sustav neće biti stabilan.

Routhov kriterij stabilnosti

Ovaj kriterij također se zove modificirani Hurwitzov kriterij stabilnosti sustava. Istražit ćemo ovaj kriterij u dvije dijelove. Prvi dio pokrit će nužne uvjete za stabilnost sustava, a drugi dio pokrit će dovoljne uvjete za stabilnost sustava. Ponovo promotrimo karakterističnu jednadžbu sustava kao

1) Dijelovi (nužni uvjeti za stabilnost sustava): U ovome imamo dva uvjeta koji su navedeni u nastavku:

1. Svi koeficijenti karakteristične jednadžbe trebaju biti pozitivni i realni.

2. Svi koeficijenti karakteristične jednadžbe trebaju biti nenulti.

2) Dijelovi (dovoljni uvjeti za stabilnost sustava): Neka najprije konstruiramo Routhov tablicu. Za konstrukciju Routhove tablice slijedite sljedeće korake:

• Prvi red sastojat će se od svih parnih članova karakteristične jednadžbe. Poredajte ih od prvog (parnog člana) do zadnjeg (parnog člana). Prvi red napisan je u nastavku: a0 a2 a4 a6…………

• Drugi red sastojat će se od svih neparnih članova karakteristične jednadžbe. Poredajte ih od prvog (neparnog člana) do zadnjeg (neparnog člana). Drugi red napisan je u nastavku: a1 a3 a5 a7………..

• Elementi trećeg retka mogu se izračunati kao:
  (1) Prvi element : Pomnožite a0 s dijagonalno suprotnim elementom sljedećeg stupca (tj. a3) zatim oduzmite to od produkta a1 i a2 (gdje je a2 dijagonalno suprotan element sljedećeg stupca) i zatim konačno podijelite rezultat tako dobiven s a1. Matematički pišemo prvi element

(2) Drugi element : Pomnožite a0 s dijagonalno suprotnim elementom sljedećeg stupca (tj. a5) zatim oduzmite to od produkta a1 i a4 (gdje je a4 dijagonalno suprotan element sljedećeg stupca) i zatim konačno podijelite rezultat tako dobiven s a1. Matematički pišemo drugi element

Na sličan način, možemo izračunati sve elemente trećeg retka.
(d) Elementi četvrtog retka mogu se izračunati upotrebom sljedećeg postupka:
(1) Prvi element : Pomnožite b1 s dijagonalno suprotnim elementom sljedećeg stupca (tj. a3) zatim oduzmite to od produkta a1 i b2 (gdje je b2 dijagonalno suprotan element sljedećeg stupca) i zat