Критериум на стабилноста на Раут-Хурвиц

После што ќе прочитате теоријата за синтеза на мрежи, лесно можеме да кажеме дека било кој пол на системот што се наоѓа од десна страна на почетокот на s-равнината, прави системот нестабилен. На основа на ова услов, A. Hurwitz и E.J. Routh започнаа со истражување на потребни и доволни услови за стабилност на системот. Ќе обсуштваме два критериуми за стабилност на системот. Првиот критериум е даден од A. Hurwitz, а овој критериум е познат и како Hurwitz Criterion for stability или Routh Hurwitz (R-H) Stability Criterion.

Hurwitz Criterion

Со помош на карактеристичната равенка, ќе направиме неколку детерминанти на Хурвиц за да го откриеме статусот на стабилноста на системот. Карактеристичната равенка на системот дефинираме како

Сега има n детерминанти за карактеристична равенка од nта ред.

Да видиме како можеме да напишеме детерминанти од коефициентите на карактеристичната равенка. Постапката корак по корак за kта карактеристична равенка е напишана подолу:
Првата детерминанта : Вредноста на оваа детерминанта е дадена со |a1| каде што a1 е коефициентот на sn-1 во карактеристичната равенка.
Втората детерминанта : Вредноста на оваа детерминанта е дадена со

Бројот на елементи во секој ред е еднаков на бројот на детерминанта, и тук имаме детерминанта број две. Првиот ред содржи првите две непарни коефициенти, а вториот ред содржи првите две парни коефициенти.
Третата детерминанта : Вредноста на оваа детерминанта е дадена со

Бројот на елементи во секој ред е еднаков на бројот на детерминанта, и тук имаме детерминанта број три. Првиот ред содржи првите три непарни коефициенти, вториот ред содржи првите три парни коефициенти, а третиот ред содржи првиот елемент како нула, а останатите два елементи како првите два непарни коефициенти.
Четвртата детерминанта: Вредноста на оваа детерминанта е дадена со,

Бројот на елементи во секој ред е еднаков на бројот на детерминанта, и тук имаме детерминанта број четири. Првиот ред содржи првите четири коефициенти, вториот ред содржи првите четири парни коефициенти, третиот ред содржи првиот елемент како нула, а останатите три елементи како првите три непарни коефициенти, а четвртиот ред содржи првиот елемент како нула, а останатите три елементи како првите три парни коефициенти.

Следејќи истата постапка, можеме да општествуваме формирањето на детерминанта. Општата форма на детерминанта е дадена подолу:

За да провериме стабилноста на горенаведениот систем, израчунете вредноста на секоја детерминанта. Системот ќе биде стабилен само и само ако вредноста на секоја детерминанта е поголема од нула, односно вредноста на секоја детерминанта треба да биде позитивна. Во сите други случаи системот нема да биде стабилен.

Routh Stability Criterion

Овој критериум е познат и како модифициран критериум на Хурвиц за стабилност на системот. Ќе го изучуваме овој критериум во две делови. Првиот дел ќе покрие потребни услови за стабилност на системот, а вториот дел ќе покрие доволни услови за стабилноста на системот. Нека повторно разгледаме карактеристичната равенка на системот како

1) Дел еден (потребен услов за стабилност на системот): Тука имаме два услови кои се напишани подолу:

1. Сите коефициенти на карактеристичната равенка треба да бидат позитивни и реални.

2. Сите коефициенти на карактеристичната равенка треба да бидат различни од нула.

2) Дел два (довољен услов за стабилност на системот): Да конструираме матрица на Раут. За да ја конструираме матрицата на Раут, следете ја следнава постапка:

• Првиот ред ќе содржи сите парни членови на карактеристичната равенка. Подредете ги од првиот (парен член) до последниот (парен член). Првиот ред е напишан подолу: a0 a2 a4 a6…………

• Вториот ред ќе содржи сите непарни членови на карактеристичната равенка. Подредете ги од првиот (непарен член) до последниот (непарен член). Вториот ред е напишан подолу: a1 a3 a5 a7………..

• Елементите на третиот ред може да се пресметаат како:
  (1) Првиот елемент : Помножете a0 со дијагонално спротивниот елемент на следниот колон (т.е. a3) затоа одземете ова од производот на a1 и a2 (каде a2 е дијагонално спротивен елемент на следниот колон) и потоа на крај го поделете резултатот добиен со a1. Математички го пишуваме првиот елемент

(2) Вториот елемент : Помножете a0 со дијагонално спротивниот елемент на следниот колон (т.е. a5) затоа одземете ова од производот на a1 и a4 (каде, a4 е дијагонално спротивен елемент на следниот колон) и потоа на крај го поделете резултатот добиен со a1. Математички го пишуваме вториот елемент

Слично, можеме да пресметаме сите елементи на третиот ред.
(d) Елементите на четвртиот ред може да се пресметаат со следната постапка:
(1) Првиот елемент : Помножете b1 со дијагонално спротивниот е