Routh Hurwitz Estabilitatearen Kriterioa

Sare sinthesis teorian irakurri ondoren, sistema baten edozein poloa s planoko jatorrizko eskuinean dagoela adieraz dezakegu, sistema hori inestabil bihurtzen duena. A. Hurwitz eta E.J.Routh sistemaren estabilitatearen baldintza zehatz eta nahikoak aztertu hasten ziren hala ere. Sistemaren estabilitatearen bi kriterio azalduko ditugu. Lehenengo kriterioa A. Hurwitzei esker emandakoa da eta kriterio honek Hurwitz Estabilitate Kriterio edo Routh-Hurwitz (R-H) Estabilitate Kriterio izeneko da.

Hurwitz Kriterioa

Karaktere ekuazioaren laguntzaz, sistemaren estabilitatea aurkitzeko zenbait determinante Hurwitz sortuko ditugu. Sistemaren karakteristiko ekuazioa honela definitzen dugu

Orain n ordenako karakteristiko ekuazio baterako n determinante daude.

Ikus dezagun nola osatu dezakegu karakte ekuazioaren koefizienteetatik determinanteak. Karakteristiko ekuazioaren k ordenako pausuak azaltzen dira behean:
Determinante lehena : Determinante honen balioa |a1| da, non a1 sn-1-ren koefizientea den karakteristiko ekuazioan.
Determinante bigarrena : Determinante honen balioa hurrengo bezala ematen da

Marril bakoitzeko elementu kopurua determinantearen zenbakitara berdina da eta determinantearen zenbakia bi da. Lehen marrila lehen bi koefiziente bakoiti ditu eta bigarren marrila lehen bi koefiziente bikoiti ditu.
Determinante hirugarrena : Determinante honen balioa hurrengo bezala ematen da

Marril bakoitzeko elementu kopurua determinantearen zenbakitara berdina da eta determinantearen zenbakia hiru da. Lehen marrila lehen hiru koefiziente bakoiti ditu, bigarren marrila lehen hiru koefiziente bikoiti ditu eta hirugarren marrila lehen elementua zero da eta beste bi elementuak lehen bi koefiziente bakoitiak dira.
Determinante laugarrena: Determinante honen balioa hurrengo bezala ematen da,

Marril bakoitzeko elementu kopurua determinantearen zenbakitara berdina da eta determinantearen zenbakia lau da. Lehen marrila lehen lau koefiziente ditu, bigarren marrila lehen lau koefiziente bikoiti ditu, hirugarren marrila lehen elementua zero da eta beste hiru elementuak lehen hiru koefiziente bakoitiak dira eta laugarren marrila lehen elementua zero da eta beste hiru elementuak lehen hiru koefiziente bikoitiak dira.

Prozedura bereko prozesuari jarraiki, determinanteen formak generalizatu ditzakegu. Determinanteen forma orokorra hurrengoa da:

Orain, goiko sistemaren estabilitatea egiaztatzeko, kalkulatu behar dira determinante guztiak. Sistema estabil izango da eta bakarrik izango da, determinante bakoitzaren balioa zero baino handiagoa bada, hau da, determinante bakoitzaren balioak positiboa izan behar du. Kasu guztietan bestalde, sistema estabil ez izango da.

Routh Estabilitate Kriterioa

Kriterio hau Hurwitz Estabilitate Kriterioa modifikatua deritzogu. Bi zati tan aztertuko dugu. Lehenengo zatiak sistemaren estabilitatearen baldintza zehatzak hartzen ditu eta bigarren zatiak sistemaren estabilitatearen baldintza nahikoak hartzen ditu. Berriro kontsideratuko dugu sistemaren karakteristiko ekuazioa honela

1) Zati lehena (sistemaren estabilitatearen baldintza zehatzak): Hemen bi baldintza ditugu, hauek dira:

1. Karaktere ekuazioaren koefiziente guztiak positiboak eta errealeak izan behar dira.

2. Karaktere ekuazioaren koefiziente guztiak ez-zeroak izan behar dira.

2) Zati bigarrena (sistemaren estabilitatearen baldintza nahikoak): Lehenengo Routh taula eraikiko dugu. Taula hau eraikitzeko, hurrengo pausuak jarraitu behar dira:

• Lehenengo marrila karakteristiko ekuazioaren termino bikoiti guztiak ditu. Hauek lehenengo (termino bikoitia)etik azken (termino bikoitia)ra antolatu behar dira. Lehenengo marrila hurrengo bezala idatziko da: a0 a2 a4 a6…………

• Bigarren marrila karakteristiko ekuazioaren termino bakoiti guztiak ditu. Hauek lehenengo (termino bakoitia)etik azken (termino bakoitia)ra antolatu behar dira. Bigarren marrila hurrengo bezala idatziko da: a1 a3 a5 a7………..

• Hirugarren marrilaren elementuak honela kalkula daitezke:
  (1) Lehenengo elementua : Multiplicatu a0 hurrengo kolorearen diagonalki kontrako elementuarekin (hau da, a3) eta kendu emaitza a1 eta a2 (non a2 diagonalki kontrako elementu bat hurrengo kolorean) arteko produktuaren menpe. Azkenik, emaitza a1-rekin zatitu. Matematikoki, lehenengo elementua hurrengo bezala idatziko da

(2) Bigarren elementua : Multiplicatu a0 hurrengo kolorearen diagonalki kontrako elementuarekin (hau da, a5) eta kendu emaitza a1 eta a4 (non, a4 diagonalki kontrako elementu bat hurrengo kolorean) arteko produktuaren menpe. Azkenik, emaitza a1-rekin zatitu. Matematikoki, bigarren elementua hurrengo bezala idatziko da

Modu berean, hirugarren marrilaren elementu guztiak kalkula ditzakegu.
(d) Laugarren marrilaren elementuak honen prozedura erabiliz kalkula daitezke:
(1) Lehenengo elementua : Multiplicatu b1 hurrengo kolorearen diagonalki kontrako elementuarekin (hau da, a3) eta kendu emaitza a1 eta b2 (non, b2 diagonalki kontrako elementu bat hurrengo kolorean) arteko produktuaren menpe. Azkenik, emaitza b1-rekin zatitu. Matematikoki, lehenengo elementua hurrengo bezala idatziko da