Критерий на стабилността на Рут-Хурвиц
След като прочетем теорията на синтеза на мрежи, лесно можем да кажем, че ако някой полюс на системата се намира в дясната част на началото на s-плана, това прави системата нестабилна. На основата на това условие A. Hurwitz и E.J.Routh започват да изследват необходимите и достатъчни условия за стабилността на системата. Ще обсъдим два критерия за стабилността на системата. Първият критерий е даден от A. Hurwitz и този критерий е известен още като Критерий на Hurwitz за стабилност или Критерий на Routh-Hurwitz (R-H) за стабилност.
Критерий на Hurwitz
С помощта на характеристичното уравнение ще направим редица детерминанти на Hurwitz, за да установим стабилността на системата. Дефинираме характеристичното уравнение на системата като
Сега имаме n детерминанти за характеристично уравнение от nто ред.
Нека видим как можем да запишем детерминанти от коефициентите на характеристичното уравнение. По-долу е записан постепенния процес за kто редово характеристично уравнение:
Детерминанта първа : Стойността на тази детерминанта се дава от |a1|, където a1 е коефициентът пред sn-1 в характеристичното уравнение.
Детерминанта втора : Стойността на тази детерминанта се дава от
Тук броят на елементите във всеки ред е равен на номера на детерминантата, а номерът на детерминантата тук е две. Първият ред съдържа първите две нечетни коефициента, а вторият ред съдържа първите две четни коефициента.
Детерминанта трета : Стойността на тази детерминанта се дава от
Тук броят на елементите във всеки ред е равен на номера на детерминантата, а номерът на детерминантата тук е три. Първият ред съдържа първите три нечетни коефициента, вторият ред съдържа първите три четни коефициента, а третият ред съдържа първия елемент като нула и останалите два елемента като първите два нечетни коефициента.
Детерминанта четвърта: Стойността на тази детерминанта се дава от,
Тук броят на елементите във всеки ред е равен на номера на детерминантата, а номерът на детерминантата тук е четири. Първият ред съдържа първите четири коефициента, вторият ред съдържа първите четири четни коефициента, третият ред съдържа първия елемент като нула и останалите три елемента като първите три нечетни коефициента, а четвъртият ред съдържа първия елемент като нула и останалите три елемента като първите три четни коефициента.
Последователно прилагайки същия процес, можем да обобщим формирането на детерминанти. Общата форма на детерминантата е дадена по-долу:
За да проверим стабилността на горната система, изчислете стойността на всяка детерминанта. Системата ще бъде стабилна само и само ако стойността на всяка детерминанта е по-голяма от нула, т.е. стойността на всяка детерминанта трябва да е положителна. Във всички останали случаи системата няма да бъде стабилна.
Критерий на Routh за стабилност
Този критерий е известен още като модифициран критерий на Hurwitz за стабилността на системата. Ще изучаваме този критерий в две части. Първата част ще покрие необходимите условия за стабилността на системата, а втората част ще покрие достатъчните условия за стабилността на системата. Нека отново разгледаме характеристичното уравнение на системата като
1) Първа част (необходими условия за стабилността на системата): Тук имаме два условия, които са записани по-долу:
Всички коефициенти на характеристичното уравнение трябва да са положителни и реални.
Всички коефициенти на характеристичното уравнение трябва да са различни от нула.
2) Втора част (достатъчни условия за стабилността на системата): Нека първо построим масива на Routh. За да построим масива на Routh, следвайте тези стъпки:
Първият ред ще съдържа всички четни терминали на характеристичното уравнение. Подредете ги от първия (четен термин) до последния (четен термин). Първият ред е записан по-долу: a0 a2 a4 a6…………
Вторият ред ще съдържа всички нечетни терминали на характеристичното уравнение. Подредете ги от първия (нечетен термин) до последния (нечетен термин). Първият ред е записан по-долу: a1 a3 a5 a7………..
Елементите на третия ред могат да бъдат изчислени като:
(1) Първи елемент : Умножете a0 с диагонално противоположния елемент от следващата колона (т.е. a3), след това извадете това от произведението на a1 и a2 (където a2 е диагонално противоположния елемент от следващата колона) и накрая разделете получената стойност с a1. Математически пишем първия елемент като
(2) Втори елемент : Умножете a0 с диагонално противоположния елемент от следващата колона (т.е. a5), след това извадете това от произведението на a1 и a4 (където, a4 е диагонално противоположния елемент от следващата колона) и накрая разделете получената стойност с a1. Математически пишем втория елемент като
По същия начин можем да изчислим всички елементи на третия ред.
(d) Елементите на четвъртия ред могат да бъдат изчислени, като се използва следния процедура:
(1) Първи елемент : Умножете b
