Критерий устойчивости Рауса-Гурвица

После изучения теории синтеза сетей можно легко сказать, что если любой полюс системы находится справа от начала координат в плоскости s, это делает систему неустойчивой. На основе этого условия А. Гурвиц и Э.Дж. Раус начали исследовать необходимые и достаточные условия устойчивости системы. Мы обсудим два критерия устойчивости системы. Первый критерий предложен А. Гурвицем, и этот критерий также известен как критерий устойчивости Гурвица или критерий устойчивости Рауса-Гурвица (Р-Г).

Критерий Гурвица

С помощью характеристического уравнения мы составим несколько определителей Гурвица для выяснения устойчивости системы. Мы определяем характеристическое уравнение системы следующим образом

Теперь есть n определителей для характеристического уравнения n-го порядка.

Давайте посмотрим, как мы можем записать определители из коэффициентов характеристического уравнения. Постепенная процедура для k-го порядкового характеристического уравнения приведена ниже:
Определитель один : Значение этого определителя задается |a1|, где a1 - это коэффициент sn-1 в характеристическом уравнении.
Определитель два : Значение этого определителя задается

Здесь количество элементов в каждой строке равно номеру определителя, и у нас здесь номер определителя равен двум. Первая строка состоит из первых двух нечетных коэффициентов, а вторая строка состоит из первых двух четных коэффициентов.
Определитель три : Значение этого определителя задается

Здесь количество элементов в каждой строке равно номеру определителя, и у нас здесь номер определителя равен трем. Первая строка состоит из первых трех нечетных коэффициентов, вторая строка состоит из первых трех четных коэффициентов, а третья строка состоит из первого элемента, равного нулю, и остальных двух элементов, равных первым двум нечетным коэффициентам.
Определитель четыре: Значение этого определителя задается,

Здесь количество элементов в каждой строке равно номеру определителя, и у нас здесь номер определителя равен четырем. Первая строка состоит из первых трех четырех коэффициентов, вторая строка состоит из первых четырех четных коэффициентов, третья строка состоит из первого элемента, равного нулю, и остальных трех элементов, равных первым трем нечетным коэффициентам, а четвертая строка состоит из первого элемента, равного нулю, и остальных трех элементов, равных первым трем четным коэффициентам.

Следуя этой же процедуре, мы можем обобщить формирование определителей. Общая форма определителя приведена ниже:

Теперь, чтобы проверить устойчивость данной системы, вычислите значение каждого определителя. Система будет устойчивой, если и только если значение каждого определителя больше нуля, то есть значение каждого определителя должно быть положительным. Во всех остальных случаях система не будет устойчивой.

Критерий устойчивости Рауса

Этот критерий также известен как модифицированный критерий устойчивости Гурвица. Мы изучим этот критерий в двух частях. Первая часть охватит необходимое условие устойчивости системы, а вторая часть - достаточное условие устойчивости системы. Рассмотрим снова характеристическое уравнение системы следующим образом

1) Часть первая (необходимое условие устойчивости системы): В этом у нас есть два условия, которые приведены ниже:

1. Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными и вещественными.

2. Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть ненулевыми.

2) Часть вторая (достаточное условие устойчивости системы): Сначала составим таблицу Рауса. Для ее построения выполните следующие шаги:

• Первая строка будет состоять из всех четных членов характеристического уравнения. Упорядочите их от первого (четного члена) до последнего (четного члена). Первая строка приведена ниже: a0 a2 a4 a6…………

• Вторая строка будет состоять из всех нечетных членов характеристического уравнения. Упорядочите их от первого (нечетного члена) до последнего (нечетного члена). Первая строка приведена ниже: a1 a3 a5 a7………..

• Элементы третьей строки можно рассчитать следующим образом:
  (1) Первый элемент : Умножьте a0 на диагонально противоположный элемент следующего столбца (то есть a3), затем вычтите это из произведения a1 и a2 (где a2 - это диагонально противоположный элемент следующего столбца), а затем, наконец, разделите полученный результат на a1. Математически это записывается как первый элемент

(2) Второй элемент : Умножьте a0 на диагонально противоположный элемент следующего столбца (то есть a5), затем вычтите это из произведения a1 и a4 (где, a4 - это диагонально противоположный элемент следующего столбца), а затем, наконец, разделите полученный результат на a1. Математически это записывается как второй элемент

Аналогично, мы можем рассчитать все элементы третьей строки.
(d) Элементы четвертой строки можно рассчитать, используя следующую процедуру:
(1) Первый элемент : Умножьте b1 на диагонально противоположный элемент следующего столбца (то есть a3), затем вычтите это из произведения a1 и b2 (где, b2 - это диагонально противоположный элемент следующего столбца), а затем, наконец, разделите полученный результат на b1. Математически это записывается как первый элемент