Routh Hurwitz Stabiliteitscriterium
Na het lezen van de theorie over netwerksynthese, kunnen we gemakkelijk zeggen dat elk pol van het systeem rechts van de oorsprong in het s-vlak ligt, waardoor het systeem onstabiel wordt. Op basis van deze voorwaarde begonnen A. Hurwitz en E.J. Routh met het onderzoeken van de noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor de stabiliteit van een systeem. We zullen twee criteria voor de stabiliteit van het systeem bespreken. Het eerste criterium is gegeven door A. Hurwitz en dit criterium staat ook bekend als Hurwitz Criterium voor stabiliteit of Routh Hurwitz (R-H) Stabiliteitscriterium.
Hurwitz Criterium
Met behulp van de karakteristieke vergelijking maken we een aantal Hurwitz-determinanten om de stabiliteit van het systeem te bepalen. We definiëren de karakteristieke vergelijking van het systeem als
Er zijn n determinanten voor een karakteristieke vergelijking van de orde n.
Laten we zien hoe we determinanten kunnen schrijven op basis van de coëfficiënten van de karakteristieke vergelijking. De stapsgewijze procedure voor een karakteristieke vergelijking van de orde k wordt hieronder beschreven:
Determinant één : De waarde van deze determinant wordt gegeven door |a1|, waarbij a1 de coëfficiënt is van sn-1 in de karakteristieke vergelijking.
Determinant twee : De waarde van deze determinant wordt gegeven door
Het aantal elementen in elke rij is gelijk aan het determinantnummer, en in dit geval is het determinantnummer twee. De eerste rij bestaat uit de eerste twee oneven coëfficiënten, en de tweede rij bestaat uit de eerste twee even coëfficiënten.
Determinant drie : De waarde van deze determinant wordt gegeven door
Het aantal elementen in elke rij is gelijk aan het determinantnummer, en in dit geval is het determinantnummer drie. De eerste rij bestaat uit de eerste drie oneven coëfficiënten, de tweede rij bestaat uit de eerste drie even coëfficiënten, en de derde rij bestaat uit het eerste element als nul en de resterende twee elementen als de eerste twee oneven coëfficiënten.
Determinant vier: De waarde van deze determinant wordt gegeven door,
Het aantal elementen in elke rij is gelijk aan het determinantnummer, en in dit geval is het determinantnummer vier. De eerste rij bestaat uit de eerste vier coëfficiënten, de tweede rij bestaat uit de eerste vier even coëfficiënten, de derde rij bestaat uit het eerste element als nul en de resterende drie elementen als de eerste drie oneven coëfficiënten, en de vierde rij bestaat uit het eerste element als nul en de resterende drie elementen als de eerste drie even coëfficiënten.
Door dezelfde procedure te volgen, kunnen we de vorming van de determinant generaliseren. De algemene vorm van de determinant wordt hieronder gegeven:
Om de stabiliteit van het bovenstaande systeem te controleren, bereken de waarde van elke determinant. Het systeem zal stabiel zijn als en slechts als de waarde van elke determinant groter is dan nul, dat wil zeggen, de waarde van elke determinant moet positief zijn. In alle andere gevallen zal het systeem niet stabiel zijn.
Routh Stabiliteitscriterium
Dit criterium staat ook bekend als het aangepaste Hurwitz Criterium voor de stabiliteit van het systeem. We zullen dit criterium in twee delen bestuderen. Deel een zal de noodzakelijke voorwaarden voor de stabiliteit van het systeem behandelen, en deel twee zal de voldoende voorwaarden voor de stabiliteit van het systeem behandelen. Laten we opnieuw de karakteristieke vergelijking van het systeem overwegen als
1) Deel een (noodzakelijke voorwaarde voor de stabiliteit van het systeem): Hierin hebben we twee voorwaarden die hieronder staan:
Alle coëfficiënten van de karakteristieke vergelijking moeten positief en reëel zijn.
Alle coëfficiënten van de karakteristieke vergelijking moeten ongelijk aan nul zijn.
2) Deel twee (voldoende voorwaarde voor de stabiliteit van het systeem): Laten we eerst de Routh-array construeren. Om de Routh-array te construeren, volg deze stappen:
De eerste rij zal bestaan uit alle even termen van de karakteristieke vergelijking. Plaats ze van de eerste (even term) tot de laatste (even term). De eerste rij is hieronder geschreven: a0 a2 a4 a6…………
De tweede rij zal bestaan uit alle oneven termen van de karakteristieke vergelijking. Plaats ze van de eerste (oneven term) tot de laatste (oneven term). De eerste rij is hieronder geschreven: a1 a3 a5 a7………..
De elementen van de derde rij kunnen worden berekend als:
(1) Eerste element : Vermenigvuldig a0 met het diagonaal tegenoverliggende element van de volgende kolom (d.w.z. a3) en trek dit af van het product van a1 en a2 (waarbij a2 het diagonaal tegenoverliggende element van de volgende kolom is) en deel vervolgens het verkregen resultaat door a1. Wiskundig schrijven we het eerste element als
(2) Tweede element : Vermenigvuldig a0 met het diagonaal tegenoverliggende element van de volgende kolom (d.w.z. a5) en trek dit af van het product van a1 en a4 (waarbij, a4 het diagonaal tegenoverliggende element van de volgende kolom is) en deel vervolgens het verkregen resultaat door a1. Wiskundig schrijven we het tweede element als
Op dezelfde manier kunnen we alle elementen van de derde rij berekenen.
(d) De elementen van de vierde rij kunnen worden berekend door de volgende procedure te gebruiken:
(1) Eerste element : Vermenigvuldig b1 met het diagonaal tegenoverliggende element van de volgende kolom (d.w.z. a3) en trek dit af van het product van a1 en b2 (waarbij, b2 het diagonaal tegenoverliggende element van de volgende kolom is) en deel vervolgens het verkregen resultaat door b1. Wiskundig schrijven we het eerste element als
