مriterion استقرار روث هورويتز

بعد قراءة نظرية تركيب الشبكات، يمكننا القول بسهولة أن أي قطب للنظام يقع على الجانب الأيمن من نقطة الأصل في المستوى s يجعل النظام غير مستقر. بناءً على هذا الشرط بدأ A. Hurwitz و E.J.Routh في التحقيق في الشروط اللازمة والكافية لاستقرار النظام. سنناقش معيارين لاستقرار النظام. المعيار الأول هو الذي أعطاه A. Hurwitz وهذا المعيار يعرف أيضًا باسم معيار Hurwitz للاستقرار أو معيار الاستقرار روث هورويتز (R-H).

معيار Hurwitz

بمساعدة المعادلة المميزة، سنقوم بإعداد عدد من محددات Hurwitz لتحديد استقرار النظام. نعرف المعادلة المميزة للنظام كالتالي

هناك n محددًا لمعادلة مميزة من الرتبة n.

لنرى كيف يمكننا كتابة المحددات من معاملات المعادلة المميزة. الخطوات التفصيلية لمعادلة مميزة من الرتبة k هي كالتالي:
المحدد الأول : قيمة هذا المحدد تعطى بواسطة |a1| حيث a1 هو معامل sn-1 في المعادلة المميزة.
المحدد الثاني : قيمة هذا المحدد تعطى بواسطة

عدد العناصر في كل صف يساوي رقم المحدد ولدينا هنا رقم المحدد هو اثنان. الصف الأول يتكون من أول عددين فرديين والأصفار تتكون من أول عددين زوجيين.
المحدد الثالث : قيمة هذا المحدد تعطى بواسطة

عدد العناصر في كل صف يساوي رقم المحدد ولدينا هنا رقم المحدد هو ثلاثة. الصف الأول يتكون من أول ثلاثة أعداد فردية، الصف الثاني يتكون من أول ثلاثة أعداد زوجية والصف الثالث يتكون من العنصر الأول صفر والباقي من العنصرين الأولين الفرديين.
المحدد الرابع: قيمة هذا المحدد تعطى بواسطة،

عدد العناصر في كل صف يساوي رقم المحدد ولدينا هنا رقم المحدد هو أربعة. الصف الأول يتكون من أول أربع أعداد، الصف الثاني يتكون من أول أربع أعداد زوجية، الصف الثالث يتكون من العنصر الأول صفر والباقي من الثلاثة أعداد الأولى الفردية والصف الرابع يتكون من العنصر الأول صفر والباقي من الثلاثة أعداد الأولى الزوجية.

من خلال اتباع نفس الإجراء يمكننا تعميم تكوين المحدد. الصيغة العامة للمحدد هي كالتالي:

الآن لفحص استقرار النظام المذكور، حساب قيمة كل محدد. سيكون النظام مستقرًا إذا وفقط إذا كانت قيمة كل محدد أكبر من الصفر، أي يجب أن تكون قيمة كل محدد إيجابية. في جميع الحالات الأخرى لن يكون النظام مستقرًا.

معيار الاستقرار روث

يُعرف هذا المعيار أيضًا باسم معيار Hurwitz المعدل للاستقرار للنظام. سندرس هذا المعيار في جزأين. الجزء الأول سيغطي الشروط اللازمة للاستقرار والنظام والجزء الثاني سيغطي الشروط الكافية للاستقرار للنظام. دعونا نعتبر مرة أخرى المعادلة المميزة للنظام كالتالي

1) الجزء الأول (الشروط اللازمة للاستقرار): لدينا هنا شرطان وهما كالتالي:

1. يجب أن تكون جميع معاملات المعادلة المميزة موجبة وحقيقية.

2. يجب أن تكون جميع معاملات المعادلة المميزة غير صفرية.

2) الجزء الثاني (الشروط الكافية للاستقرار): دعنا ننشئ مصفوفة روث أولاً. لبناء مصفوفة روث اتبع هذه الخطوات:

• سيتألف الصف الأول من جميع المصطلحات الزوجية للمعادلة المميزة. قم بترتيبها من أول مصطلح زوجي إلى آخر مصطلح زوجي. يتم كتابة الصف الأول كالتالي: a0 a2 a4 a6…………

• سيتألف الصف الثاني من جميع المصطلحات الفردية للمعادلة المميزة. قم بترتيبها من أول مصطلح فردي إلى آخر مصطلح فردي. يتم كتابة الصف الثاني كالتالي: a1 a3 a5 a7………..

• يمكن حساب عناصر الصف الثالث كالتالي:
  (1) العنصر الأول : اضرب a0 في العنصر المقابل قطرًا في العمود التالي (أي a3) ثم اطرح هذا من حاصل ضرب a1 و a2 (حيث a2 هو العنصر المقابل قطرًا في العمود التالي) وأخيرًا قسم النتيجة التي تم الحصول عليها على a1. رياضيًا نكتب العنصر الأول

(2) العنصر الثاني : اضرب a0 في العنصر المقابل قطرًا في العمود التالي للعمود التالي (أي a5) ثم اطرح هذا من حاصل ضرب a1 و a4 (حيث a4 هو العنصر المقابل قطرًا في العمود التالي للعمود التالي) وأخيرًا قسم النتيجة التي تم الحصول عليها على a1. رياضيًا نكتب العنصر الثاني

وبالمثل، يمكننا حساب جميع عناصر الصف الثالث.
(d) يمكن حساب عناصر الصف الرابع باستخدام الإجراء التالي:
(1) العنصر الأول : اضرب b1 في العنصر المقابل قطرًا في العمود التالي (أي a3) ثم اطرح هذا من حاصل ضرب a1 و b2 (حيث b2 هو العنصر المقابل قطرًا في العمود التالي) وأخيرًا قسم النتيجة التي تم الحصول عليها على b1. رياضيًا نكتب العنصر الأول

(2) العنصر الثاني : اضرب b1 في العنصر المقابل قطرًا في العمود التالي للعمود التالي (أي a5) ثم اطرح هذا من حاصل ضرب a