Routh Hurwitz Kararlılık Kriteri
Ağ sentezi teorisini okuduktan sonra, sistemin herhangi bir kutbünün s düzleminin orijinin sağ tarafında yattığını kolayca söyleyebiliriz, bu da sistemi kararsız hale getirir. Bu koşula dayanarak A. Hurwitz ve E.J.Routh, bir sistemin kararlılık için gerekli ve yeterli koşullarını araştırmaya başladı. Sistemin kararlılığı için iki kriter tartışacağız. İlk kriter A. Hurwitz tarafından verildi ve bu kriter aynı zamanda Hurwitz Kararlılık Kriteri veya Routh-Hurwitz (R-H) Kararlılık Kriteri olarak da bilinir.
Hurwitz Kriteri
Sistemin karakteristik denklemi yardımıyla, sistemin kararlılığını belirlemek için bir dizi Hurwitz determinantı oluşturacağız. Sistemin karakteristik denklemini şu şekilde tanımlıyoruz:
Şimdi n. derece karakteristik denklem için n tane determinant var.
Karakteristik denklemin katsayılarından nasıl determinantlar yazabileceğimize bakalım. n. derece karakteristik denklem için adım adım prosedür aşağıda yazılmıştır:
Birinci determinant: Bu determinantın değeri |a1| ile verilir, burada a1, karakteristik denklemde sn-1'in katsayısıdır.
İkinci determinant: Bu determinantın değeri
Her satırda bulunan eleman sayısı, determinant numarasına eşittir ve buradaki determinant numaramız iki. İlk satır ilk iki tek katsayıyı, ikinci satır ise ilk iki çift katsayıyı içerir.
Üçüncü determinant: Bu determinantın değeri
Her satırda bulunan eleman sayısı, determinant numarasına eşittir ve buradaki determinant numaramız üç. İlk satır ilk üç tek katsayıyı, ikinci satır ilk üç çift katsayıyı, üçüncü satır ise ilk elemanı sıfır ve diğer iki elemanı ilk iki tek katsayı olarak içerir.
Dördüncü determinant: Bu determinantın değeri,
Her satırda bulunan eleman sayısı, determinant numarasına eşittir ve buradaki determinant numaramız dört. İlk satır ilk dört katsayıyı, ikinci satır ilk dört çift katsayıyı, üçüncü satır ilk elemanı sıfır ve diğer üç elemanı ilk üç tek katsayı, dördüncü satır ise ilk elemanı sıfır ve diğer üç elemanı ilk üç çift katsayı olarak içerir.
Aynı prosedürü takip ederek determinant oluşturmamızı genelleştirebiliriz. Determinantın genel formu aşağıda verilmiştir:
Yukarıdaki sistemin kararlılığını kontrol etmek için, her determinantın değerini hesaplayın. Sistem, her determinantın değeri sıfırdan büyükse, yani her determinantın değeri pozitifse, kararlı olacaktır. Diğer tüm durumlarda sistem kararlı olmayacaktır.
Routh Kararlılık Kriteri
Bu kriter aynı zamanda sistemin kararlılık için değiştirilmiş Hurwitz Kriteri olarak da bilinir. Bu kriteri iki parçada inceleyeceğiz. Birinci bölüm, sistemin kararlılığı için gerekli koşulu, ikinci bölüm ise sistemin kararlılığı için yeterli koşulu kapsayacak. Tekrar sistemin karakteristik denklemini düşünelim:
1) Birinci bölüm (sistemin kararlılığı için gerekli koşul): Burada iki koşul var ve bunlar aşağıda yazılıdır:
Karakteristik denklemin tüm katsayıları pozitif ve gerçek olmalıdır.
Karakteristik denklemin tüm katsayıları sıfır olmamalıdır.
2) İkinci bölüm (sistemin kararlılığı için yeterli koşul): Öncelikle Routh tablosunu oluşturalım. Routh tablosunu oluşturmak için aşağıdaki adımları takip edin:
İlk satır, karakteristik denklemin tüm çift terimlerini içerecektir. Onları ilk (çift terim) ile son (çift terim) arasında sıralayın. İlk satır aşağıda yazılmıştır: a0 a2 a4 a6…………
İkinci satır, karakteristik denklemin tüm tek terimlerini içerecektir. Onları ilk (tek terim) ile son (tek terim) arasında sıralayın. İkinci satır aşağıda yazılmıştır: a1 a3 a5 a7………..
Üçüncü satırın elemanları şu şekilde hesaplanabilir:
(1) İlk eleman : a0 ile köşegenen karşıt sütundaki elemanı (yani a3) çarpın, bu sonucu a1 ve a2 (burada a2 köşegenen karşıt sütundaki elemandır) çarpımından çıkarın ve son olarak sonuç a1 ile bölün. Matematiksel olarak ilk elemanı şöyle yazabiliriz
(2) İkinci eleman : a0 ile bir sonraki sütundaki köşegenen karşıt elemanı (yani a5) çarpın, bu sonucu a1 ve a4 (burada a4 bir sonraki sütundaki köşegenen karşıt elemandır) çarpımından çıkarın ve son olarak sonuç a1 ile bölün. Matematiksel olarak ikinci elemanı şöyle yazabiliriz
Benzer şekilde, üçüncü satırın tüm elemanlarını hesaplayabiliriz.
(d) Dördüncü satırın elemanları şu şekilde hesaplanabilir:
(1) İlk eleman : b1 ile bir sonraki sütundaki köşegenen karşıt elemanı (yani a3) çarpın, bu sonucu a1 ve b2 (burada b2 bir sonraki sütundaki köşegenen karşıt elemandır) çarpımından çıkarın ve son olarak sonuç b1 ile bölün. Matematiksel olarak ilk elemanı şöyle yazabiliriz
(2) İkinci eleman : b1 ile bir sonraki sütundaki köşegenen karşıt elemanı (yani a
