Routh-Hurwitz-Stabilitätskriterium
Nach dem Lesen der Theorie der Netzwerksynthese können wir leicht sagen, dass jedes Pol des Systems, das rechts vom Ursprung der s-Ebene liegt, das System instabil macht. Basierend auf dieser Bedingung begannen A. Hurwitz und E.J. Routh mit der Untersuchung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Stabilität eines Systems. Wir werden zwei Kriterien zur Stabilität des Systems diskutieren. Das erste Kriterium wurde von A. Hurwitz gegeben und ist auch als Hurwitz-Kriterium für Stabilität oder Routh-Hurwitz (R-H) Stabilitätskriterium bekannt.
Hurwitz-Kriterium
Mit Hilfe der charakteristischen Gleichung werden wir eine Reihe von Hurwitz-Determinanten erstellen, um die Stabilität des Systems zu ermitteln. Wir definieren die charakteristische Gleichung des Systems als
Es gibt nun n Determinanten für eine charakteristische Gleichung nter Ordnung.
Lassen Sie uns sehen, wie wir Determinanten aus den Koeffizienten der charakteristischen Gleichung erstellen können. Der Schritt-für-Schritt-Prozess für eine kte Ordnung charakteristische Gleichung wird unten beschrieben:
Determinante eins : Der Wert dieser Determinante wird durch |a1| gegeben, wobei a1 der Koeffizient von sn-1 in der charakteristischen Gleichung ist.
Determinante zwei : Der Wert dieser Determinante wird durch
Hier ist die Anzahl der Elemente in jeder Zeile gleich der Determinantennummer und wir haben hier die Determinantennummer zwei. Die erste Zeile besteht aus den ersten beiden ungeraden Koeffizienten und die zweite Zeile besteht aus den ersten beiden geraden Koeffizienten.
Determinante drei : Der Wert dieser Determinante wird durch
Hier ist die Anzahl der Elemente in jeder Zeile gleich der Determinantennummer und wir haben hier die Determinantennummer drei. Die erste Zeile besteht aus den ersten drei ungeraden Koeffizienten, die zweite Zeile besteht aus den ersten drei geraden Koeffizienten und die dritte Zeile besteht aus dem ersten Element als Null und den restlichen beiden Elementen als die ersten beiden ungeraden Koeffizienten.
Determinante vier: Der Wert dieser Determinante wird durch,
Hier ist die Anzahl der Elemente in jeder Zeile gleich der Determinantennummer und wir haben hier die Determinantennummer vier. Die erste Zeile besteht aus den ersten vier Koeffizienten, die zweite Zeile besteht aus den ersten vier geraden Koeffizienten, die dritte Zeile besteht aus dem ersten Element als Null und den restlichen drei Elementen als die ersten drei ungeraden Koeffizienten, die vierte Zeile besteht aus dem ersten Element als Null und den restlichen drei Elementen als die ersten drei geraden Koeffizienten.
Durch das Befolgen des gleichen Verfahrens können wir die Determinantenbildung verallgemeinern. Die allgemeine Form der Determinante lautet wie folgt:
Um die Stabilität des obigen Systems zu überprüfen, berechnen wir den Wert jeder Determinante. Das System wird stabil sein, wenn und nur wenn der Wert jeder Determinante größer als Null ist, d.h. der Wert jeder Determinante sollte positiv sein. In allen anderen Fällen wird das System nicht stabil sein.
Routh-Stabilitätskriterium
Dieses Kriterium ist auch als modifiziertes Hurwitz-Kriterium für die Stabilität des Systems bekannt. Wir werden dieses Kriterium in zwei Teilen studieren. Teil eins wird die notwendige Bedingung für die Stabilität des Systems abdecken und Teil zwei wird die hinreichende Bedingung für die Stabilität des Systems abdecken. Betrachten wir erneut die charakteristische Gleichung des Systems als
1) Teil eins (notwendige Bedingung für die Stabilität des Systems): Hier haben wir zwei Bedingungen, die unten beschrieben sind:
Alle Koeffizienten der charakteristischen Gleichung sollten positiv und real sein.
Alle Koeffizienten der charakteristischen Gleichung sollten ungleich Null sein.
2) Teil zwei (hinreichende Bedingung für die Stabilität des Systems): Lassen Sie uns zunächst die Routh-Tabelle erstellen. Um die Routh-Tabelle zu erstellen, befolgen Sie diese Schritte:
Die erste Zeile wird aus allen geraden Termen der charakteristischen Gleichung bestehen. Ordnen Sie sie vom ersten (geraden Term) bis zum letzten (geraden Term) an. Die erste Zeile lautet wie folgt: a0 a2 a4 a6…………
Die zweite Zeile wird aus allen ungeraden Termen der charakteristischen Gleichung bestehen. Ordnen Sie sie vom ersten (ungeraden Term) bis zum letzten (ungeraden Term) an. Die erste Zeile lautet wie folgt: a1 a3 a5 a7………..
Die Elemente der dritten Zeile können wie folgt berechnet werden:
(1) Erstes Element : Multiplizieren Sie a0 mit dem diagonal gegenüberliegenden Element der nächsten Spalte (d.h. a3), subtrahieren Sie dann dieses Produkt von dem Produkt von a1 und a2 (wobei a2 das diagonal gegenüberliegende Element der nächsten Spalte ist) und dividieren Sie schließlich das so erhaltene Ergebnis durch a1. Mathematisch schreiben wir das erste Element als
(2) Zweites Element : Multiplizieren Sie a0 mit dem diagonal gegenüberliegenden Element der übernächsten Spalte (d.h. a5), subtrahieren Sie dann dieses Produkt von dem Produkt von a1 und a4 (wobei a4 das diagonal gegenüberliegende Element der übernächsten Spalte ist) und dividieren Sie schließlich das so erhaltene Ergebnis durch a1. Mathematisch schreiben wir das zweite Element als
Auf ähnliche Weise können wir alle Elemente der dritten Zeile berechnen.
(d) Die Elemente der vierten Zeile können mit dem folgenden Verfahren berechnet werden:
(1) Erstes Element : Multiplizieren Sie b1 mit dem diagonal gegenüberliegenden Element der nächsten Spalte (d.h. a3), subtrahieren Sie dann dieses Produkt von dem Produkt von a1 und b2 (wobei b2 das diagonal gegenüberliegende Element der nächsten Spalte ist) und dividieren Sie schließlich das so erhaltene Ergebnis durch b1. Mathematisch schreiben wir das erste Element als
