Eindwaardestelling in Laplace-transformatie (Bewijs & Voorbeelden)

Bij de oplossing van netwerken, overgangsprocessen en systemen zijn we soms niet geïnteresseerd in het vinden van de volledige functie van de tijd f(t) uit de Laplace-transformatie F(s), die beschikbaar is voor de oplossing. Het is bijzonder interessant om te ontdekken dat we de eerste of laatste waarde van f(t) of zijn afgeleiden kunnen vinden zonder de volledige functie f(t) te moeten bepalen. In dit artikel zullen we ons richten op het vinden van eindwaarden en hun afgeleiden.

Voorbeeld:
Als F(s) gegeven is, willen we graag weten wat F(∞) is, zonder de functie f(t) te kennen, die de inverse Laplace-transformatie is, bij t→ ∞. Dit kan worden gedaan door gebruik te maken van de eigenschap van de Laplace-transformatie, bekend als de Eindwaardestelling. De eindwaardestelling en de beginwaardestelling worden samen de Limietstellingen genoemd.

Definitie van de Eindwaardestelling van de Laplace-transformatie

Als f(t) en f'(t) beide Laplace-transformatieerbaar zijn en sF(s) geen polen heeft op de jw-as en in het R.H.P. (Rechter Halve Vlak), dan,

Bewijs van de Eindwaardestelling van de Laplace-transformatie
We weten de differentiatie-eigenschap van de Laplace-transformatie:

Opmerking
Hier wordt de limiet 0– genomen om rekening te houden met de impulsen aanwezig op t = 0
Nu nemen we de limiet als s → 0. Dan e-st → 1 en de hele vergelijking ziet eruit als

Voorbeelden van de Eindwaardestelling van de Laplace-transformatie
Vind de eindwaarden van de gegeven F(s) zonder f(t) expliciet te berekenen

Antwoord


Antwoord

Opmerking
Zie hier, de inverse Laplace-transformatie is in dit geval moeilijk. We kunnen echter de eindwaarde nog steeds vinden via de stelling.

Antwoord
Opmerking
In Voorbeeld 1 en 2 hebben we de voorwaarden ook gecontroleerd, maar ze voldoen eraan. Dus laten we ons hierbij beperken. Maar hier heeft sF(s) een pool in het R.H.P., omdat de noemer een positieve wortel heeft.
Dus, hier kunnen we de Eindwaardestelling niet toepassen.

Antwoord
Opmerking
In dit voorbeeld heeft sF(s) polen op de jw-as, specifiek +2i en -2i.
Dus, hier kunnen we de Eindwaardestelling evenmin toepassen.

Antwoord
Opmerking

Punten om te onthouden:

• Om de EWT toe te passen, moeten we ervoor zorgen dat f(t) en f'(t) transformeerbaar zijn.

• We moeten ervoor zorgen dat de eindwaarde bestaat. De eindwaarde bestaat niet in de volgende gevallen

Als sF(s) polen heeft in het rechter deel van het s-vlak. [Voorbeeld 3]
Als sF(s) geconjugeerde polen heeft op de jw-as. [Voorbeeld 4]
Als sF(s) een pool heeft op de oorsprong. [Voorbeeld 5]

• Dan pas je toe

In dit voorbeeld heeft sF(s) een pool op de oorsprong.
Dus, hier kunnen we de Eindwaardestelling ook niet toepassen.
Eindtruc
Controleer gewoon of sF(s) begrensd is of niet. Als het onbegrensd is, dan is het niet geschikt voor de Eindwaardestelling en de eindwaarde is simpelweg oneindig.

Verklaring: Respecteer het origineel, goede artikelen zijn de moeite waard om te delen, bij inbreuk neem contact op om te verwijderen.