Định lý giá trị cuối cùng trong biến đổi Laplace (Chứng minh & Ví dụ)

Trong giải pháp của mạng lưới, quá trình chuyển tiếp và hệ thống, đôi khi chúng ta có thể không quan tâm đến việc tìm ra toàn bộ hàm theo thời gian f(t) từ biến đổi Laplace F(s), mà đã có sẵn cho giải pháp. Rất thú vị khi biết rằng chúng ta có thể tìm ra giá trị đầu tiên hoặc cuối cùng của f(t) hoặc đạo hàm của nó mà không cần phải tìm ra toàn bộ hàm f(t). Trong bài viết này, chúng ta sẽ quan tâm đến việc tìm giá trị cuối cùng và đạo hàm của nó.

Ví dụ:
Nếu F(s) được cho, chúng ta muốn biết F(∞) là gì, mà không cần biết hàm f(t), là biến đổi Laplace ngược, tại thời điểm t→ ∞. Điều này có thể thực hiện được bằng cách sử dụng tính chất của biến đổi Laplace gọi là Định lý giá trị cuối cùng. Định lý giá trị cuối cùng và định lý giá trị ban đầu cùng được gọi là Định lý giới hạn.

Định nghĩa của Định lý giá trị cuối cùng của biến đổi Laplace

Nếu cả f(t) và f'(t) đều có thể biến đổi Laplace và sF(s) không có cực trên trục jw và nửa mặt phẳng phải (R.H.P.) thì,

Chứng minh Định lý giá trị cuối cùng của biến đổi Laplace
Chúng ta biết tính chất vi phân của biến đổi Laplace:

Lưu ý
Ở đây giới hạn 0– được lấy để xử lý các xung tồn tại tại t = 0
Bây giờ chúng ta lấy giới hạn khi s → 0. Khi đó e-st → 1 và toàn bộ phương trình trông như sau

Ví dụ về Định lý giá trị cuối cùng của biến đổi Laplace
Tìm giá trị cuối cùng của F(s) đã cho mà không cần tính trực tiếp f(t)

Câu trả lời


Câu trả lời

Lưu ý
Xem ở đây, biến đổi Laplace ngược rất khó trong trường hợp này. Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể tìm giá trị cuối cùng thông qua định lý.

Câu trả lời
Lưu ý
Trong ví dụ 1 và 2, chúng ta đã kiểm tra điều kiện nhưng chúng thỏa mãn tất cả. Vì vậy, chúng tôi không hiển thị rõ ràng. Nhưng ở đây, sF(s) có một cực trên nửa mặt phẳng phải vì mẫu có một nghiệm dương.
Vì vậy, ở đây chúng ta không thể áp dụng Định lý giá trị cuối cùng.

Câu trả lời
Lưu ý
Trong ví dụ này, sF(s) có các cực trên trục jw. Cụ thể là +2i và -2i.
Vì vậy, ở đây chúng ta cũng không thể áp dụng Định lý giá trị cuối cùng.

Câu trả lời
Lưu ý

Những điểm cần nhớ:

• Để áp dụng FVT, chúng ta cần đảm bảo rằng f(t) và f'(t) có thể biến đổi.

• Chúng ta cần đảm bảo rằng giá trị cuối cùng tồn tại. Giá trị cuối cùng không tồn tại trong các trường hợp sau

Nếu sF(s) có cực ở bên phải của mặt phẳng s. [Ví dụ 3]
Nếu sF(s) có cực liên hợp trên trục jw. [Ví dụ 4]
Nếu sF(s) có cực ở gốc. [Ví dụ 5]

• Sau đó áp dụng

Trong ví dụ này, sF(s) có cực ở gốc.
Vì vậy, ở đây chúng ta cũng không thể áp dụng Định lý giá trị cuối cùng.
Lời khuyên cuối cùng
Chỉ cần kiểm tra xem sF(s) có bị chặn hay không. Nếu không bị chặn, thì nó không phù hợp cho Định lý giá trị cuối cùng và giá trị cuối cùng đơn giản là vô cùng.

Tuyên bố: Hãy tôn trọng bản gốc, những bài viết tốt đáng chia sẻ, nếu có vi phạm bản quyền vui lòng liên hệ để xóa.