نظرية القيمة النهائية في تحويل لابلاس (البرهان والامثلة)

في حل الشبكات والتحولات العابرة وأنظمة التحكم، قد لا نرغب أحيانًا في إيجاد الدالة الكاملة للزمن f(t) من تحويل لابلاس F(s) المتاح للحل. من المثير للاهتمام أننا يمكننا إيجاد القيمة الأولى أو الأخيرة لـ f(t) أو مشتقاتها دون الحاجة إلى إيجاد الدالة الكاملة f(t). سنركز في هذا المقال على إيجاد القيم النهائية ومشتقاتها.

على سبيل المثال:
إذا كان F(s) معطى، فإننا نرغب في معرفة قيمة F(∞)، دون معرفة الدالة f(t)، وهي تحويل لابلاس العكسي، عندما t → ∞. يمكن القيام بذلك باستخدام خاصية تحويل لابلاس المعروفة باسم نظرية القيمة النهائية. نظرية القيمة النهائية ونظرية القيمة الأولية تسميان معاً بنظريات الحدود.

تعريف نظرية القيمة النهائية لتحويل لابلاس

إذا كانت f(t) و f'(t) كلاهما قابلة لتحويل لابلاس ولا يوجد أي قطب لـ sF(s) على المحور الوهمي jw وفي نصف المستوى الأيمن (R.H.P.)، فإن

برهان نظرية القيمة النهائية لتحويل لابلاس
نحن نعلم خاصية التفاضل لتحويل لابلاس:

ملاحظة
هنا يتم أخذ الحد 0– للتعامل مع الاندفاعات الموجودة عند t = 0
الآن نأخذ الحد عندما s → 0. ثم e-st → 1 ويبدو المعادلة بالكامل كالتالي

أمثلة على نظرية القيمة النهائية لتحويل لابلاس
أوجد القيم النهائية لـ F(s) المعطاة دون حساب f(t) بشكل صريح

الجواب


الجواب

ملاحظة
لاحظ هنا أن تحويل لابلاس العكسي صعب في هذه الحالة. ومع ذلك، يمكننا إيجاد القيمة النهائية عبر النظرية.

الجواب
ملاحظة
في الأمثلة 1 و2، قمنا بفحص الشروط ولكنها تحقق جميعها. لذلك نتجنب إظهارها بشكل صريح. ولكن هنا يحتوي sF(s) على قطب في نصف المستوى الأيمن حيث يكون المقام له جذر موجب.
لذلك، لا يمكننا تطبيق نظرية القيمة النهائية.

الجواب
ملاحظة
في هذا المثال، يحتوي sF(s) على أقطاب على محور jw. +2i و -2i تحديداً.
لذلك، لا يمكننا تطبيق نظرية القيمة النهائية أيضاً.

الجواب
ملاحظة

نقاط يجب تذكرها:

• لتطبيق نظرية القيمة النهائية، يجب التأكد من أن f(t) و f'(t) قابلتان للتحويل.

• يجب التأكد من وجود القيمة النهائية. لا توجد القيمة النهائية في الحالات التالية

إذا كان sF(s) يحتوي على أقطاب في الجانب الأيمن من المستوى s. [مثال 3]
إذا كان sF(s) يحتوي على أقطاب مترافقة على محور jw. [مثال 4]
إذا كان sF(s) يحتوي على قطب على الأصل. [مثال 5]

• ثم طبق

في هذا المثال، يحتوي sF(s) على قطب على الأصل.
لذلك لا يمكننا تطبيق نظرية القيمة النهائية هنا أيضًا.
حيلة النهاية
تحقق فقط مما إذا كان sF(s) غير محدود أم لا. إذا كان غير محدود، فإنه غير مناسب لـ نظرية القيمة النهائية والقيمة النهائية هي ببساطة اللانهائي.

بيان: احترم الأصلي، المقالات الجيدة تستحق المشاركة، إذا كان هناك انتهاك للحقوق يرجى التواصل لإزالة المحتوى.