Teorema del Valor Final en la Transformada de Laplace (Prueba y Ejemplos)

En la solución de redes, transitorios y sistemas, a veces no nos interesa encontrar toda la función de tiempo f(t) a partir de su Transformada de Laplace F(s), que está disponible para la solución. Es muy interesante descubrir que podemos encontrar el primer valor o el último valor de f(t) o sus derivadas sin tener que encontrar toda la función f(t). En este artículo estaremos interesados en encontrar los valores finales y sus derivadas.

Por ejemplo:
Si se da F(s), nos gustaría saber cuál es F(∞), sin conocer la función f(t), que es la Transformada Inversa de Laplace, en el tiempo t→ ∞. Esto se puede hacer utilizando la propiedad de la Transformada de Laplace conocida como Teorema del valor final. El teorema del valor final y el teorema del valor inicial se llaman juntos Teoremas Límite.

Definición del Teorema del Valor Final de la Transformada de Laplace

Si f(t) y f'(t) son ambas transformables por Laplace y sF(s) no tiene polo en el eje jw ni en el P.H.D. (Plano Derecho), entonces,

Prueba del Teorema del Valor Final de la Transformada de Laplace
Sabemos la propiedad de diferenciación de la Transformación de Laplace:

Nota
Aquí se toma el límite 0– para tener en cuenta los impulsos presentes en t = 0
Ahora tomamos el límite cuando s → 0. Entonces e-st → 1 y toda la ecuación se ve así

Ejemplos del Teorema del Valor Final de la Transformada de Laplace
Hallar los valores finales de la F(s) dada sin calcular explícitamente f(t)

Respuesta


Respuesta

Nota
Observa que aquí la Transformada Inversa de Laplace es difícil en este caso. Aún así, podemos encontrar el Valor Final a través del Teorema.

Respuesta
Nota
En el Ejemplo 1 y 2 hemos comprobado las condiciones, pero las cumplen todas. Por lo tanto, nos abstendremos de mostrarlo explícitamente. Pero aquí, sF(s) tiene un polo en el P.H.D. ya que el denominador tiene una raíz positiva.
Así, aquí no podemos aplicar el Teorema del Valor Final.

Respuesta
Nota
En este ejemplo, sF(s) tiene polos en el eje jw. Específicamente, +2i y -2i.
Así, aquí tampoco podemos aplicar el Teorema del Valor Final.

Respuesta
Nota

Puntos a recordar:

• Para aplicar el TVF necesitamos asegurarnos de que f(t) y f'(t) sean transformables.

• Necesitamos asegurarnos de que el Valor Final exista. El valor final no existe en los siguientes casos

Si sF(s) tiene polos en el lado derecho del plano s. [Ejemplo 3]
Si sF(s) tiene polos conjugados en el eje jw. [Ejemplo 4]
Si sF(s) tiene un polo en el origen. [Ejemplo 5]

• Entonces aplica

En este ejemplo, sF(s) tiene un polo en el origen.
Por lo tanto, aquí tampoco podemos aplicar el Teorema del Valor Final.
Truco Final
Simplemente verifica si sF(s) es acotado o no. Si no es acotado, entonces no es adecuado para el Teorema del Valor Final y el valor final es simplemente infinito.

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