Izrek o končni vrednosti v Laplaceovi transformaciji (Dokaz & Primeri)

Pri reševanju omrežij, prehodnih stanj in sistemov morda ne bomo zanima izračunati celotne funkcije časa f(t) iz njene Laplaceove transformacije F(s), ki je na voljo za rešitev. Zelo zanimivo je, da lahko najdemo prvo ali zadnjo vrednost f(t) ali njenih odvodov, ne da bi morali izračunati celotno funkcijo f(t). V tem članku se bomo osredotočili na iskanje končnih vrednosti in njenih odvodov.

Za primer:
Če je dana F(s), bi radi vedeli, kaj je F(∞), brez poznavanja funkcije f(t), ki je inverzna Laplaceova transformacija, ko gre t → ∞. To lahko storimo s pomočjo lastnosti Laplaceove transformacije, znane kot Izrek o končni vrednosti. Izrek o končni vrednosti in izrek o začetni vrednosti sta skupaj znana kot Limitni izreki.

Definicija izreka o končni vrednosti Laplaceove transformacije

Če so f(t) in f'(t) oba Laplaceovo transformabilni in sF(s) nima polov na jw osi in v R.H.P. (Desni polravnini), potem,

Dokaz izreka o končni vrednosti Laplaceove transformacije
Vemo o lastnosti diferenciranja Laplaceove transformacije:

Opomba
Tukaj je limita 0– vzeta, da se upošteva prisotnost impulsov pri t = 0
Zdaj vzamemo limito, ko gre s → 0. Potem gre e-st → 1 in cela enačba izgleda tako

Primeri izreka o končni vrednosti Laplaceove transformacije
Najdite končne vrednosti podanih F(s) brez izračuna eksplicitne f(t)

Odgovor


Odgovor

Opomba
Opazimo, da je inverzna Laplaceova transformacija v tem primeru težka. Vseeno lahko najdemo končno vrednost preko izreka.

Odgovor
Opomba
V Primeru 1 in 2 smo preverili pogoje, vendar so vsi izpolnjeni. Torej se ne bomo eksplicitno posvetili. Vendar ima sF(s) pol v R.H.P., ker imajo imenovalec pozitivni koren.
Torej, tu ne moremo uporabiti Izreka o končni vrednosti.

Odgovor
Opomba
V tem primeru ima sF(s) pole na jw osi, točno +2i in -2i.
Torej, tu ne moremo uporabiti Izreka o končni vrednosti tudi.

Odgovor
Opomba

To zapomnite:

• Za uporabo IKT moramo zagotoviti, da so f(t) in f'(t) transformabilni.

• Moramo zagotoviti, da obstaja končna vrednost. Končna vrednost ne obstaja v naslednjih primerih

Če ima sF(s) pole na desni strani s ravnine. [Primer 3]
Če ima sF(s) konjugirane pole na jw osi. [Primer 4]
Če ima sF(s) pol na izhodišču. [Primer 5]

• Nato uporabite

V tem primeru ima sF(s) pol na izhodišču.
Torej tu ne moremo uporabiti Izreka o končni vrednosti.
Končna trik
Preprosto preverite, ali je sF(s) neomejeno ali ne. Če je neomejeno, potem ni primerno za Izrek o končni vrednosti in končna vrednost je preprosto neskončna.

Izjava: Spoštujte original, dobre članke je vredno deliti, v primeru kršitve avtorskih pravic se obrnite za brisanje.