Théorème de la valeur finale dans la transformation de Laplace (Preuve & Exemples)

Dans la résolution des réseaux, des transitoires et des systèmes, il arrive parfois que nous ne soyons pas intéressés à trouver l'ensemble de la fonction du temps f(t) à partir de sa transformation de Laplace F(s), qui est disponible pour la solution. Il est très intéressant de constater que nous pouvons trouver la première valeur ou la dernière valeur de f(t) ou de ses dérivées sans avoir à trouver l'ensemble de la fonction f(t). Nous serons intéressés à trouver les valeurs finales et leurs dérivées dans cet article.

Par exemple :
Si F(s) est donné, nous aimerions savoir quelle est F(∞), sans connaître la fonction f(t), qui est la transformation inverse de Laplace, lorsque t → ∞. Cela peut être fait en utilisant la propriété de la transformation de Laplace connue sous le nom de théorème de la valeur finale. Le théorème de la valeur finale et le théorème de la valeur initiale sont ensemble appelés les théorèmes limites.

Définition du théorème de la valeur finale de la transformation de Laplace

Si f(t) et f'(t) sont tous deux transformables par Laplace et que sF(s) n'a pas de pôle sur l'axe jw et dans le plan droit (R.H.P.), alors,

Preuve du théorème de la valeur finale de la transformation de Laplace
Nous savons que la propriété de différentiation de la transformation de Laplace est :

Remarque
Ici, la limite 0– est prise pour tenir compte des impulsions présentes à t = 0
Maintenant, nous prenons la limite lorsque s → 0. Alors e-st → 1 et l'équation entière ressemble à ceci

Exemples du théorème de la valeur finale de la transformation de Laplace
Trouvez les valeurs finales données de F(s) sans calculer explicitement f(t)

Réponse


Réponse

Remarque
Voyez ici, la transformation inverse de Laplace est difficile dans ce cas. Néanmoins, nous pouvons trouver la valeur finale grâce au théorème.

Réponse
Remarque
Dans l'exemple 1 et 2, nous avons vérifié les conditions, mais elles les satisfont toutes. Nous nous abstenons donc de les montrer explicitement. Mais ici, sF(s) a un pôle dans le plan droit car le dénominateur a une racine positive.
Ainsi, nous ne pouvons pas appliquer le théorème de la valeur finale.

Réponse
Remarque
Dans cet exemple, sF(s) a des pôles sur l'axe jw, spécifiquement +2i et -2i.
Ainsi, nous ne pouvons pas appliquer le théorème de la valeur finale non plus.

Réponse
Remarque

Points à retenir :

• Pour appliquer le théorème de la valeur finale, nous devons nous assurer que f(t) et f'(t) sont transformables.

• Nous devons nous assurer que la valeur finale existe. La valeur finale n'existe pas dans les cas suivants :

Si sF(s) a des pôles sur le côté droit du plan s. [Exemple 3]
Si sF(s) a des pôles conjugués sur l'axe jw. [Exemple 4]
Si sF(s) a un pôle à l'origine. [Exemple 5]

• Ensuite, appliquez

Dans cet exemple, sF(s) a un pôle à l'origine.
Ainsi, nous ne pouvons pas appliquer le théorème de la valeur finale non plus.
Astuce finale
Vérifiez simplement que sF(s) est borné ou non. Si sF(s) est non borné, alors il n'est pas adapté pour le théorème de la valeur finale et la valeur finale est simplement infinie.

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