Eindwaardiestelling in Laplace-transformasie (Bewys & Voorbeelde)

In die oplossing van netwerke, oorgangsprosesse en stelsels is dit soms nie nodig om die hele funksie van tyd f(t) uit sy Laplace-transform F(s) te vind nie, wat beskikbaar is vir die oplossing. Dit is baie interessant om te weet dat ons die eerste of laaste waarde van f(t) of sy afgeleides kan vind sonder om die hele funksie f(t) te bepaal. Ons sal in hierdie artikel belangstelling hê in die bepaling van eindwaardes en hul afgeleides.

As voorbeeld:
As F(s) gegee word, wil ons weet wat F(∞) is, sonder om die funksie f(t), wat die inverse Laplace-transformasie is, by t→ ∞ te ken. Dit kan gedoen word deur gebruik te maak van die eienskap van die Laplace-transformasie bekend as Eindwaarde-stelling. Die eindwaarde-stelling en beginwaarde-stelling staan saam bekend as die Begrensingsstellinge.

Definisie van Eindwaarde-stelling van Laplace-transformasie

Indien f(t) en f'(t) beide Laplace-transformeerbaar is en sF(s) geen pool op die jw-as of in die regterhalfvlak (R.H.P.) het, dan:

Bewys van Eindwaarde-stelling van Laplace-transformasie
Ons weet die differensiasie-eienskap van Laplace-transformasie:

Nota
Hier word die limiet 0– geneem om rekening te hou met impulsusse teen t = 0
Nou neem ons die limiet as s → 0. Dan e-st → 1 en die hele vergelyking lyk soos

Voorbeelde van Eindwaarde-stelling van Laplace-transformasie
Vind die eindwaardes van die gegewe F(s) sonder om f(t) eksplisiet te bereken

Antwoord


Antwoord

Nota
Sien hier dat die inverse Laplace-transformasie in hierdie geval moeilik is. Toch kan ons die eindwaarde deur die stelling vind.

Antwoord
Nota
In Voorbeeld 1 en 2 het ons die voorwaardes ook nagegaan, maar dit voldoen aan almal. So laat ons dit weg om dit eksplisiet te wys. Maar hier het sF(s) 'n pool in die regterhalfvlak omdat die noemer 'n positiewe wortel het.
Dus, hier kan ons nie Eindwaarde-stelling toepas nie.

Antwoord
Nota
In hierdie voorbeeld het sF(s) pole op die jw-as. Spesifiek +2i en -2i.
Dus, hier kan ons ook nie Eindwaarde-stelling toepas nie.

Antwoord
Nota

Punte om te onthou:

• Vir die toepassing van Eindwaarde-stelling moet ons verseker dat f(t) en f'(t) transformeerbaar is.

• Ons moet verseker dat die eindwaarde bestaan. Die eindwaarde bestaan nie in die volgende gevalle nie

As sF(s) pole op die regterkant van die s-vlak het. [Voorbeeld 3]
As sF(s) gekonjugeerde pole op die jw-as het. [Voorbeeld 4]
As sF(s) 'n pool op die oorsprong het. [Voorbeeld 5]

• Dan pas toe

In hierdie voorbeeld het sF(s) 'n pool op die oorsprong.
Dus, hier kan ons ook nie Eindwaarde-stelling toepas nie.
Laaste Tippie
Gewoonlik kontroleer dat sF(s) begrens is of nie. As dit onbegrens is, dan is dit nie geskik vir Eindwaarde-stelling en die eindwaarde is eenvoudig oneindig.

Verklaring: Respekteer die oorspronklike, goeie artikels is waardoor gedeel te word, indien inbreuk plaasvind neem asb. kontak om te verwyder.