משפט הערך הסופי בטרנספורמציה של לפלס (הוכחה ודוגמאות)

בפתרון של רשתות, תהליכים טרנסיאנטיים ומערכות, לעיתים לא נרצה למצוא את הפונקציה המלאה של הזמן f(t) מהתמרת לפלס שלה F(s), שזמינה לפתרון. זה מאוד מעניין למצוא שאפשר למצוא את הערך הראשון או האחרון של f(t) או הנגזרות שלה מבלי למצוא את הפונקציה המלאה f(t). בסרטון זה נרצה למצוא את הערכים הסופיים והנגזרות שלהם.

לדוגמה:
אם נתונה F(s), נרצה לדעת מהו F(∞), מבלי לדעת את הפונקציה f(t), שהיא התמרת לפלס ההופכית, בזמן t→ ∞. ניתן לעשות זאת באמצעות תכונה של התמרת לפלס הנקראת משפט הערך הסופי. משפט הערך הסופי ומשפט הערך ההתחלתי מכונים יחדיו משפטים גבולניים.

הגדרת משפט הערך הסופי של התמרת לפלס

אם f(t) ו-f'(t) שניהם ניתנים לתמרת לפלס ולא קיים קוטב של sF(s) על ציר jw ועל חצי המישור הימני (R.H.P), אז,

הוכחת משפט הערך הסופי של התמרת לפלס
ידוע לנו את תכונת הגזירה של התמרת לפלס:

הערה
כאן הגבול 0– נלקח כדי לטפל בתנודות המופיעות ב-t = 0
עכשיו אנחנו לוקחים גבול כאשר s → 0. ואז e-st → 1 והמשוואה כולה נראית כך

דוגמאות למשפט הערך הסופי של התמרת לפלס
מצא את הערכים הסופיים של F(s) הנתונה ללא חישוב מפורש של f(t)

תשובה


תשובה

הערה
ראו כאן שהתמרת לפלס ההופכית היא קשה במקרה זה. עדיין ניתן למצוא את הערך הסופי דרך המשפט.

תשובה
הערה
בדוגמה 1 ו-2 בדקנו את התנאים אך הם מקיימים אותם כולם. לכן, אנו מתעלמים מהצגת זה באופן מפורש. אבל כאן ל-sF(s) יש קוטב בחצי המישור הימני כי המכנה יש בו שורש חיובי.
לכן, כאן אי אפשר להפעיל את משפט הערך הסופי.

תשובה
הערה
בדוגמה זו ל-sF(s) יש קוטבים על ציר jw. ספציפית +2i ו- -2i.
לכן, כאן אי אפשר להפעיל את משפט הערך הסופי גם כן.

תשובה
הערה

נקודות לזכור:

• כדי ליישם את משפט הערך הסופי עלינו לוודא שהפונקציות f(t) ו-f'(t) הן ניתנות לתמרת לפלס.

• עלינו לוודא שהערך הסופי קיים. הערך הסופי אינו קיים במקרים הבאים

אם ל-sF(s) יש קוטבים על הצד הימני של המישור s. [דוגמה 3]
אם ל-sF(s) יש קוטבים מרוכזים על ציר jw. [דוגמה 4]
אם ל-sF(s) יש קוטב בראשית. [דוגמה 5]

• ואז ליישם

בדוגמה זו ל-sF(s) יש קוטב בראשית.
לכן כאן אי אפשר ליישם את משפט הערך הסופי גם כן.
טיפ סופי
רק בדוק אם sF(s) הוא בלתי מוגבל או לא. אם בלתי מוגבל, אז הוא אינו מתאים ל-משפט הערך הסופי והערך הסופי פשוט אינסופי.

צה"ל: כבד את המקור, מאמרים טובים ראויים לשיתוף, אם קיים פרע זכויות אינטלקטואליות צרו קשר למחיקה.