Endwertsatz in der Laplace-Transformation (Beweis & Beispiele)

In der Lösung von Netzwerken, Transienten und Systemen sind wir manchmal nicht an der Bestimmung der gesamten Zeitfunktion f(t) aus ihrer Laplace-Transformation F(s) interessiert, die für die Lösung verfügbar ist. Es ist sehr interessant zu wissen, dass wir den ersten oder letzten Wert von f(t) oder seiner Ableitungen finden können, ohne die gesamte Funktion f(t) bestimmen zu müssen. In diesem Artikel werden wir uns auf die Bestimmung der Endwerte und deren Ableitungen konzentrieren.

Zum Beispiel:
Wenn F(s) gegeben ist, möchten wir gerne wissen, was F(∞) ist, ohne die Funktion f(t), die die inverse Laplace-Transformation darstellt, bei t→ ∞ zu kennen. Dies kann durch die Verwendung der Eigenschaft der Laplace-Transformation, bekannt als Endwerttheorem, erreicht werden. Das Endwerttheorem und das Anfangswerttheorem werden zusammen als Grenzwertsätze bezeichnet.

Definition des Endwerttheorems der Laplace-Transformation

Wenn f(t) und f'(t) beide laplace-transformierbar sind und sF(s) keine Pole auf der jw-Achse und im RHP (rechte Halbebene) hat, dann gilt:

Beweis des Endwerttheorems der Laplace-Transformation
Wir kennen die Differenzierungseigenschaft der Laplace-Transformation:

Hinweis
Hier wird der Grenzwert 0– gewählt, um Impulse bei t = 0 zu berücksichtigen
Nun nehmen wir den Grenzwert für s → 0. Dann gilt e-st → 1 und die gesamte Gleichung sieht wie folgt aus:

Beispiele für das Endwerttheorem der Laplace-Transformation
Bestimme die Endwerte der gegebenen F(s) ohne explizite Berechnung von f(t)

Antwort


Antwort

Hinweis
Hier ist die inverse Laplace-Transformation schwierig. Dennoch können wir den Endwert durch das Theorem ermitteln.

Antwort
Hinweis
In Beispiel 1 und 2 haben wir die Bedingungen überprüft, aber sie erfüllen alle. Daher verzichten wir darauf, dies explizit zu zeigen. Hier hat jedoch sF(s) einen Pol in der RHP, da der Nenner eine positive Wurzel hat.
Daher können wir hier das Endwerttheorem nicht anwenden.

Antwort
Hinweis
In diesem Beispiel hat sF(s) Pole auf der jw-Achse, speziell +2i und -2i.
Daher können wir hier auch das Endwerttheorem nicht anwenden.

Antwort
Hinweis

Wichtige Punkte:

• Um das EWT anzuwenden, müssen wir sicherstellen, dass f(t) und f'(t) transformierbar sind.

• Wir müssen sicherstellen, dass der Endwert existiert. Der Endwert existiert in den folgenden Fällen nicht:

Wenn sF(s) Pole auf der rechten Seite der s-Ebene hat. [Beispiel 3]
Wenn sF(s) konjugierte Pole auf der jw-Achse hat. [Beispiel 4]
Wenn sF(s) ein Pol am Ursprung hat. [Beispiel 5]

• Dann wende an:

In diesem Beispiel hat sF(s) einen Pol am Ursprung.
Daher können wir hier auch das Endwerttheorem nicht anwenden.
Letzter Trick
Überprüfe einfach, ob sF(s) unbeschränkt ist. Ist es unbeschränkt, dann ist es nicht geeignet für Endwerttheorem und der Endwert ist einfach unendlich.

Aussage: Respektiere das Original, gute Artikel sind es wert, geteilt zu werden, falls es Verletzungen gibt, bitte kontaktiere zur Löschung.