Teorema do Valor Final na Transformada de Laplace (Proba e Exemplos)

Na resolución de redes, transitorios e sistemas, ás veces non nos interesa atopar a función completa no tempo f(t) a partir da súa transformada de Laplace F(s), que está dispoñible para a solución. É moi interesante atopar que podemos determinar o primeiro ou último valor de f(t) ou as súas derivadas sen ter que atopar a función completa f(t). Neste artigo estaremos interesados en atopar os valores finais e as súas derivadas.

Por exemplo:
Se se nos dá F(s), gustaríanos saber cal é F(∞), sen coñecer a función f(t), que é a transformada inversa de Laplace, cando t→ ∞. Isto pode facerse utilizando a propiedade da transformada de Laplace coñecida como Teorema do valor final. O teorema do valor final e o teorema do valor inicial son xuntos chamados os Teoremas Límite.

Definición do Teorema do Valor Final da Transformada de Laplace

Se f(t) e f'(t) son ambos transformables de Laplace e sF(s) non ten polo no eixo jw e no R.H.P. (Plano dereito), entón,

Demostración do Teorema do Valor Final da Transformada de Laplace
Sabemos a propiedade de diferenciación da transformada de Laplace:

Nota
Aquí o límite 0– toma para ter en conta os impulsos presentes en t = 0
Agora tomamos o límite como s → 0. Entón e-st → 1 e toda a ecuación parece

Exemplos do Teorema do Valor Final da Transformada de Laplace
Atopar os valores finais das seguintes F(s) sen calcular explícitamente f(t)

Resposta


Resposta

Nota
Vese aquí que a transformada inversa de Laplace é difícil neste caso. Aínda así, podemos atopar o valor final a través do teorema.

Resposta
Nota
Nos exemplos 1 e 2 comprobamos as condicións, pero todas están satisfeitas. Polo tanto, evitamos mostrar explícitamente. Pero aquí sF(s) ten un polo no R.H.P xa que o denominador ten unha raíz positiva.
Así, aquí non podemos aplicar o Teorema do Valor Final.

Resposta
Nota
Neste exemplo, sF(s) ten polos no eixe jw. Específicamente +2i e -2i.
Así, aquí tamén non podemos aplicar o Teorema do Valor Final.

Resposta
Nota

Puntos para lembrar:

• Para aplicar o TVF necesitamos asegurar que f(t) e f'(t) son transformables.

• Necesitamos asegurar que o valor final existe. O valor final non existe nos seguintes casos

Se sF(s) ten polos no lado dereito do plano s. [Exemplo 3]
Se sF(s) ten polos conjugados no eixe jw. [Exemplo 4]
Se sF(s) ten polo na orixe. [Exemplo 5]

• Entón aplícase

Neste exemplo, sF(s) ten polo na orixe.
Así, aquí tamén non podemos aplicar o Teorema do Valor Final.
Truco final
Só comproba que sF(s) é ilimitado ou non. Se é ilimitado, entón non é axeitado para o Teorema do Valor Final e o valor final é simplemente infinito.

Declaración: Respetar o original, artigos bóns merecen ser compartidos, se hai infracción por favor contactar para eliminar.