Teorema Balio Finalaren Laplaceen Transformazioan (Frogapena & Adibideak)

Sare eta sistemen baten ebazpenetan, aldakortasunak edo sistemak, orduan batzuetan f(t) funtzio osoa aurkitzeko F(s)en Laplace transformazioa erabiliz interesatu gabe egon daitezke. Interesgarria da, f(t)ren hasierako balioa edo amaiera-balioa edo bere deribatuak aurkitzea, f(t)ren funtzio osoa lortu gabe. Lan honetan, amaiera-balioak eta beren deribatuak aurkitzean interesatuko gara.

Adibide baten alde:
Adibidez, F(s) emanda, F(∞) nolako balioa jakin nahi izango dugu, f(t) funtziorik ezagutu gabe, hau da, t→ ∞ den heinean Inversio Laplace Transformazioa. Hona hemen Laplace Transformazioaren ezaugarri bat, Final Value Theorem deitua, erabil dezakegu. Final value theorem eta initial value theorem limiteko teoremoak dira.

Laplace Transformazioaren Final Value Theoremaren definizioa

f(t) eta f'(t) biak Laplace Transformazioa badira eta sF(s) jw ardatzen polorik ez baditu eta R.H.P. (Right half Plane) badago, orduan,

Laplace Transformazioaren Final Value Theoremaren froga
Laplace Transformazioaren deribazio ezaugarria dakigu:

Oharra
Hemen 0– mugara joateko t = 0ko impulsuak kontuan hartzen ditugu
Orain s → 0 mugara jotzen gara. Orduan e-st → 1 eta ekuazio osoa hurrengo bezala agertzen da

Laplace Transformazioaren Final Value Theoremaren adibideak
Emandako F(s)ren amaiera-balioak kalkulatu gabe f(t)ren esplizituak

Erantzuna


Erantzuna

Oharra
Hemen Inversio Laplace Transformazioa zaila da kasu honetan. Horrez ere, Teorema bidez Amaiera-Balioa aurki dezakegu.

Erantzuna
Oharra
Adibide 1 eta 2tan baldintzak egiaztatu ditugu, baina guztiak bete dituzte. Beraz, horrela ez dugu adieraziko. Baina hemen sF(s)k R.H.P. (Right half Plane) -n polorik du, hondar positiboa duenez.
Beraz, hemen Final Value Theorem aplikatu ezin da.

Erantzuna
Oharra
Adibide honetan sF(s)k jw ardatzan polok ditu. +2i eta -2i zehatzki.
Beraz, hemen ere Final Value Theorem aplikatu ezin da.

Erantzuna
Oharra

Gogoratu beharreko puntuak:

• FVT aplikatzeko, f(t) eta f'(t) transformagarriak direla ziurtatu behar da.

• Amaiera-Balioa existitzen dela ziurtatu behar da. Amaiera-balioa ez da existitzen kasu hauek:

sF(s)k s planoaren eskubian polorik dituenean. [Adibide 3]
sF(s)k jw ardatzan konjugatu polorik dituenean. [Adibide 4]
sF(s)k jatorrian polorik dituenean. [Adibide 5]

• Ondoren aplikatu

Adibide honetan sF(s)k jatorrian polorik du.
Beraz, hemen ere Final Value Theorem aplikatu ezin da.
Azken trikua
Egiaztatu sF(s) mugagabea al da. Mugagabea bada, orduan ez da Final Value Theorem-rako egokia, eta amaiera-balioa infinitua da.

Erakuspena: Jatorrizkoa errespetatu, partekatzeko balio duten artikulu onak, inbertsio baldin badago kontaktatzeko ezabatzeko.