Лаплас ауыстыруындағы соңғы мән теоремасы (Дәлелдеу және Мысалдар)

Тармактардың, көтерілу және жүйелердің шешімінде біз F(s) Лаплас түрлендірілген f(t) функциясын толығымен табуға қызығушы болмауымыз мүмкін. f(t) немесе оның туындыларының бірінші немесе соңғы мәндерін табу өте қызықты. Бұл мақалада f(t) немесе оның туындыларының соңғы мәндері мен оларды табуға қызығушы боламыз.

Мысалы:
Егер F(s) берілсе, біз f(t) функциясын (тіпті Лаплас түрлендірілген түрінен) t→ ∞ уақытта білбейсек, F(∞) неге тең екенін білу қызығушы боламыз. Бұл Лаплас түрлендірілгендегі Ақырындық мән теоремасы деп аталатын қасиетпен жасалады. Ақырындық мән теоремасы мен бастапқы мән теоремасы бірге шектеу теоремалары деп аталады.

Лаплас түрлендірілгендегі ақырындық мән теоремасының анықтамасы

Егер f(t) және f'(t) екеуі де Лаплас түрлендіріле алса және sF(s) jw осінде және R.H.P. (оң жарты жазықтықта) полюстары болмаса, онда,

Лаплас түрлендірілгендегі ақырындық мән теоремасының дәлелдеуі
Біз Лаплас түрлендірілгендегі дифференциалдау қасиетін білеміз:

Ескерту
Мұнда 0– шегі t = 0 уақытта қатынаулықтарды ескере отырып алынады
Енді біз s → 0 шегін алып, e-st → 1 болады және бүтін теңдеу мынадай түрде көрінетінін көреміз

Лаплас түрлендірілгендегі ақырындық мән теоремасының мысалдары
F(s) берілген соңғы мәндерін f(t) табу үшін нақты табу үшін табыңыз

Жауап


Жауап

Ескерту
Мынада Лаплас түрлендірілгенін кері түрлендіру қиын. Бірақ біз теореманы пайдалану арқылы соңғы мәнді табуға болады.

Жауап
Ескерту
1 және 2 мысалда біз шарттарды тексердік, бірақ оларды барынша қанағаттандырды. Сондықтан біз оларды толық көрсетпеудің қажетін танымыз. Бірақ мұнда sF(s) R.H.P. (оң жарты жазықтықта) полюстары болады, себебі знаменательде оң түбірлер бар.
Сондықтан, бұл жағдайда Ақырындық мән теоремасын қолдану мүмкін емес.

Жауап
Ескерту
Бұл мысалда sF(s) jw осінде +2i және -2i полюстары болады.
Сондықтан, бұл жағдайда да Ақырындық мән теоремасын қолдану мүмкін емес.

Жауап
Ескерту

Ескертулар:

• Ақырындық мән теоремасын қолдану үшін f(t) және f'(t) түрлендіріле алғанын қадағалауымыз керек.

• Біз сол ақырындық мәнінің бар екенін қадағалауымыз керек. Төмендегі жағдайларда ақырындық мәні жоқ:

Егер sF(s) s жазықтығының оң жағында полюстары болса. [3 мысал]
Егер sF(s) jw осінде конъюгациялық полюстары болса. [4 мысал]
Егер sF(s) басқычында полюс бар болса. [5 мысал]

• Онда қолданыңыз

Бұл мысалда sF(s) басқычында полюс бар.
Сондықтан, бұл жағдайда да Ақырындық мән теоремасын қолдану мүмкін емес.
Ақырынды трюк
Тағы бір рет sF(s) шектелгенін немесе шектелген емесін тексеріңіз. Егер шектелген болмаса, онда Ақырындық мән теоремасы қолдануға болмайды және ақырынды мән қарапайым шексіз болады.

Ескерту: Оригиналды сыйлаңыз, жақсы мақалаларды бөлісу қызметін жасаңыз, егер автордық құқықтарын бұзулған болса, хабарласып, жоюға болады.