Теорема про кінцеве значення в перетворенні Лапласа (доведення та приклади)

У розв'язанні задач з мереж, переходних процесів та систем іноді нас може не цікавити знайдення повної функції часу f(t) з її перетворення Лапласа F(s), яке доступне для розв'язку. Дуже цікаво, що ми можемо знайти перше або останнє значення f(t) або її похідних, не знаходячи повну функцію f(t). Ми будемо цікавитися знаходженням кінцевих значень та їх похідних у цій статті.

Наприклад:
Якщо задано F(s), нам бажано знати, чим дорівнює F(∞), не знаючи функцію f(t), яка є оберненим перетворенням Лапласа, при t→ ∞. Це можна зробити, використовуючи властивість перетворення Лапласа, відому як теорема про кінцеве значення. Теорема про кінцеве значення та теорема про початкове значення разом називаються граничними теоремами.

Визначення теореми про кінцеве значення перетворення Лапласа

Якщо f(t) та f'(t) обидва є перетворювані Лапласом, а sF(s) не має полюсів на осі jω та в правій півплощині (R.H.P.), то,

Доведення теореми про кінцеве значення перетворення Лапласа
Ми знаємо властивість диференціювання перетворення Лапласа:

Примітка
Тут границя 0– береться для врахування імпульсів, присутніх при t = 0
Тепер ми беремо границю при s → 0. Тоді e-st → 1, і все рівняння виглядає так

Приклади теореми про кінцеве значення перетворення Лапласа
Знайдіть кінцеві значення даного F(s) без явного обчислення f(t)

Відповідь


Відповідь

Примітка
Ось тут обернене перетворення Лапласа складне. Проте ми все ж можемо знайти кінцеве значення за допомогою теореми.

Відповідь
Примітка
У прикладах 1 і 2 ми перевірили умови, але вони всі їх задовольняють. Тому ми не показуємо це явно. Але тут sF(s) має полюс у правій півплощині, оскільки знаменник має додатний корінь.
Тому тут ми не можемо застосувати теорему про кінцеве значення.

Відповідь
Примітка
У цьому прикладі sF(s) має полюси на осі jω. Зокрема, +2i та -2i.
Тому тут ми також не можемо застосувати теорему про кінцеве значення.

Відповідь
Примітка

Що треба пам'ятати:

• Для застосування теореми про кінцеве значення потрібно переконатися, що f(t) та f'(t) є перетворювані.

• Потрібно переконатися, що кінцеве значення існує. Кінцеве значення не існує в таких випадках

Якщо sF(s) має полюси праворуч від площини s. [Приклад 3]
Якщо sF(s) має спряжені полюси на осі jω. [Приклад 4]
Якщо sF(s) має полюс в початку координат. [Приклад 5]

• Тоді застосуйте

У цьому прикладі sF(s) має полюс в початку координат.
Тому тут ми також не можемо застосувати теорему про кінцеве значення.
Фінальний прийом
Просто перевірте, чи sF(s) необмежене чи ні. Якщо необмежене, то воно не підходить для теореми про кінцеве значення, і кінцеве значення просто нескінченне.

Заява: Поважайте оригінал, доброзичливі статті варті поширення, якщо є порушення авторських прав, будь ласка, зверніться для видалення.