ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายในแปลงลาปลาซ (พิสูจน์และตัวอย่าง)
ในการแก้ปัญหาเครือข่าย การเปลี่ยนแปลงชั่วขณะ และระบบ เราอาจไม่สนใจในการหาฟังก์ชันของเวลา f(t) ทั้งหมดจาก Laplace Transform F(s) ที่มีอยู่สำหรับการแก้ปัญหา มันน่าสนใจมากที่เราจะสามารถหาค่าแรกหรือค่าสุดท้ายของ f(t) หรืออนุพันธ์ของมันโดยไม่ต้องหาฟังก์ชัน f(t) ทั้งหมด ในบทความนี้เราจะสนใจในการหาค่าสุดท้ายและอนุพันธ์ของมัน
เพื่อเป็นตัวอย่าง:
ถ้า F(s) ถูกกำหนดให้ เราต้องการทราบว่า F(∞) เป็นเท่าใด โดยไม่ต้องรู้ฟังก์ชัน f(t) ซึ่งเป็น Inverse Laplace Transformation ณ เวลา t→ ∞ สามารถทำได้โดยใช้สมบัติของ Laplace Transform ที่เรียกว่า ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย. ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายและทฤษฎีบทค่าเริ่มต้นถูกเรียกรวมกันว่า Limiting Theorems.
นิยามของทฤษฎีบทค่าสุดท้ายของ Laplace Transform
หาก f(t) และ f'(t) ทั้งสองสามารถแปลงเป็น Laplace Transform ได้ และ sF(s) ไม่มีโพลบนแกน jw และใน R.H.P. (Right half Plane) แล้ว,
การพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายของ Laplace Transform
เราทราบถึงสมบัติของการ微分性质的拉普拉斯变换公式为：
\[ \mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0^-) \]
我们取 \( s \to 0 \) 的极限。此时 \( e^{-st} \to 1 \)，整个方程看起来像：
\[ \lim_{s \to 0} sF(s) = \lim_{t \to \infty} f(t) \]
这就是最终值定理的证明。
### 最终值定理的例子
找到给定 \( F(s) \) 的最终值，而不需要显式计算 \( f(t) \)。
\[ F(s) = \frac{1}{s+1} \]
答案：
\[ \lim_{s \to 0} sF(s) = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{1}{s+1} = \lim_{s \to 0} \frac{s}{s+1} = 0 \]
答案：
\[ \lim_{s \to 0} sF(s) = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{1}{s^2 + 1} = \lim_{s \to 0} \frac{s}{s^2 + 1} = 0 \]
注意：在这里，逆拉普拉斯变换是困难的。但我们仍然可以通过定理找到最终值。
答案：
\[ \lim_{s \to 0} sF(s) = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{1}{s-1} = \lim_{s \to 0} \frac{s}{s-1} = 0 \]
注意：在示例 1 和 2 中，我们检查了条件但它们都满足。所以我们不再显示。但是这里的 \( sF(s) \) 在 R.H.P 上有一个极点，因为分母有一个正根。
因此，这里不能应用 **最终值定理**。
答案：
\[ \lim_{s \to 0} sF(s) = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{1}{s^2 + 4} = \lim_{s \to 0} \frac{s}{s^2 + 4} = 0 \]
注意：在这个例子中，\( sF(s) \) 在 jw 轴上有极点，分别是 +2i 和 -2i。
因此，这里也不能应用 **最终值定理**。
答案：
\[ \lim_{s \to 0} sF(s) = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{1}{s} = \lim_{s \to 0} 1 = 1 \]
注意：在这个例子中，\( sF(s) \) 在原点有一个极点。
因此，这里也不能应用 **最终值定理**。
### 需要记住的要点
- 应用最终值定理时，我们需要确保 \( f(t) \) 和 \( f'(t) \) 是可变换的。
- 我们需要确保最终值存在。以下情况下最终值不存在：
- 如果 \( sF(s) \) 在 s 平面的右侧有极点。[示例 3]
- 如果 \( sF(s) \) 在 jw 轴上有共轭极点。[示例 4]
- 如果 \( sF(s) \) 在原点有极点。[示例 5]
- 然后应用
在这个例子中，\( sF(s) \) 在原点有一个极点。
因此，这里也不能应用 **最终值定理**。
### 最后的技巧
只需检查 \( sF(s) \) 是否无界。如果无界，则不适合 **最终值定理**，最终值就是无穷大。
声明：尊重原创，好文章值得分享，如有侵权请联系删除。
