라플라스 변환의 최종값 정리 (증명 및 예제)

네트워크, 일시적 상태 및 시스템의 해법에서 때로는 시간 함수 f(t)의 전체를 찾는 것보다, 라플라스 변환 F(s)로부터 f(t) 또는 그 도함수의 첫 번째 값이나 마지막 값을 찾는 것이 흥미로울 수 있습니다. 이 문서에서는 f(t)와 그 도함수의 최종값을 찾아보겠습니다.

예를 들어:
F(s)가 주어졌을 때, f(t) 즉 역 라플라스 변환을 모르더라도 t→ ∞일 때 F(∞)를 알고 싶을 수 있습니다. 이를 위해 라플라스 변환의 속성인 최종값 정리를 사용할 수 있습니다. 최종값 정리와 초기값 정리는 함께 제한 정리라고 불립니다.

라플라스 변환의 최종값 정리의 정의

f(t)와 f'(t) 모두 라플라스 변환이 가능하고 sF(s)가 jw 축과 오른쪽 반평면(R.H.P.)에 극점을 가지지 않는다면,

라플라스 변환의 최종값 정리의 증명
우리는 라플라스 변환의 미분 성질을 알고 있습니다:

참고
여기서 0–의 한계는 t = 0에서 발생하는 임펄스를 고려하기 위함입니다.
이제 s → 0으로 한계를 취합니다. 그러면 e-st → 1이고 전체 방정식은 다음과 같습니다:

라플라스 변환의 최종값 정리의 예제
f(t)를 명시적으로 계산하지 않고 주어진 F(s)의 최종값을 찾아보겠습니다.

답변


답변

참고
여기서 역 라플라스 변환이 어렵습니다. 그러나 우리는 여전히 정리를 통해 최종값을 찾을 수 있습니다.

답변
참고
예제 1과 2에서 조건을 확인했지만 모든 조건을 만족했습니다. 따라서 명시적으로 보여주지 않았습니다. 그러나 여기서 sF(s)는 분모에 양의 근이 있으므로 오른쪽 반평면(R.H.P)에 극점을 가지고 있습니다.
따라서, 여기서는 최종값 정리를 적용할 수 없습니다.

답변
참고
이 예제에서 sF(s)는 +2i와 -2i 특별히 jw 축에 극점을 가지고 있습니다.
따라서, 여기서도 최종값 정리를 적용할 수 없습니다.

답변
참고

기억해야 할 사항:

• 최종값 정리를 적용하려면 f(t)와 f'(t)가 변환 가능해야 합니다.

• 최종값이 존재하는지 확인해야 합니다. 다음 경우 최종값은 존재하지 않습니다:

sF(s)가 s 평면의 오른쪽에 극점을 가질 때. [예제 3]
sF(s)가 jw 축에 켤레 극점을 가질 때. [예제 4]
sF(s)가 원점에 극점을 가질 때. [예제 5]

• 그러면 적용하세요

이 예제에서 sF(s)는 원점에 극점을 가지고 있습니다.
따라서 여기에서도 최종값 정리를 적용할 수 없습니다.
마지막 팁
sF(s)가 무한대인지 확인하세요. 만약 무한대라면, 최종값 정리에 적합하지 않으며 최종값은 단순히 무한대입니다.

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