Slutvärdesteorin i Laplace-transform (Bevis & Exempel)

När vi löser nätverk, övergångstillstånd och system kan vi ibland inte vara intresserade av att hitta hela funktionen f(t) från dess Laplace-transform F(s), som är tillgänglig för lösningen. Det är mycket intressant att upptäcka att vi kan hitta det första värdet eller det sista värdet på f(t) eller dess derivator utan att behöva hitta hela funktionen f(t). I denna artikel kommer vi att intressera oss för att hitta slutvärdena och dess derivator.

För exempel:
Om F(s) är givet, skulle vi vilja veta vad F(∞) är, utan att känna till funktionen f(t), som är invers Laplacetransform, vid tiden t→ ∞. Detta kan göras genom att använda egenskapen hos Laplacetransform som kallas Slutvärdesatsen. Slutvärdesatsen och startvärdesatsen kallas tillsammans för gränssatserna.

Definition av slutvärdesatsen för Laplacetransform

Om både f(t) och f'(t) är Laplacetransformbara och sF(s) har inga poler i jw-axeln och i R.H.P. (Höger halvplan) då,

Bevis för slutvärdesatsen för Laplacetransform
Vi vet deriveringsegenskapen för Laplacetransform:

Notering
Här tas gränsen 0– för att hantera impulserna vid t = 0
Nu tar vi gränsen när s → 0. Då e-st → 1 och hela ekvationen ser ut som

Exempel på slutvärdesatsen för Laplacetransform
Hitta de slutliga värdena för det givna F(s) utan att beräkna f(t) explicit

Svar


Svar

Notering
Här är invers Laplacetransform svår i detta fall. Ändå kan vi hitta det slutliga värdet genom satserna.

Svar
Notering
I Exempel 1 och 2 har vi kontrollerat villkoren men de uppfyller alla. Så vi avhåller oss från att visa det explicit. Men här har sF(s) en pol i H.R.P eftersom nämnaren har en positiv rot.
Så, här kan vi inte tillämpa Slutvärdesatsen.

Svar
Notering
I detta exempel har sF(s) poler på jw-axeln. Specifikt +2i och -2i.
Så, här kan vi inte heller tillämpa Slutvärdesatsen.

Svar
Notering

Att komma ihåg:

• För att tillämpa slutvärdesatsen måste vi säkerställa att f(t) och f'(t) är transformbara.

• Vi måste säkerställa att det slutliga värdet existerar. Det slutliga värdet existerar inte i följande fall

Om sF(s) har poler på högra sidan av s-planen. [Exempel 3]
Om sF(s) har konjugerade poler på jw-axeln. [Exempel 4]
Om sF(s) har pol vid origo. [Exempel 5]

• Därefter tillämpa

I detta exempel har sF(s) en pol vid origo.
Så här kan vi inte heller tillämpa slutvärdesatsen.
Sluttrick
Kontrollera bara om sF(s) är obegränsat eller inte. Om det är obegränsat, så är det inte lämpligt för slutvärdesatsen och det slutliga värdet är helt enkelt oändligt.

Uttryck: Respektera det ursprungliga, bra artiklar är värt att dela, om det finns kränkning kontakta för borttagning.