ლაპლასის ტრანსფორმაციაში ბოლო მნიშვნელობის თეორემა (დამტკიცება და მაგალითები)

ქსელების, ტრანზიენტული პროცესების და სისტემების ამოხსნაში ზოგჯერ ჩვენ არ უნდა გვინდოდეს ფუნქციის მთელი დროის ფუნქციის f(t) განსაზღვრა მისი ლაპლასის ტრანსფორმირების F(s) გამოყენებით, რომელიც ამოხსნისთვის ხელმისაწვდომია. ძალიან საინტერესოა ნახოთ, რომ ჩვენ შეგვიძლია გავიგოთ f(t)-ის პირველი ან ბოლო მნიშვნელობა ან მისი წარმოებულები მთელი ფუნქციის f(t) განსაზღვრის გარეშე. ამ სტატიაში ჩვენ ინტერესის საგანად შევიძლება გავიგოთ ბოლო მნიშვნელობები და მისი წარმოებულები.

მაგალითისთვის:
თუ F(s) მოცემულია, ჩვენ გვინდა ვიცოდეთ, რა არის F(∞), გარეშე ფუნქციის f(t) ცოდნის, რომელიც ინვერსული ლაპლასის ტრანსფორმაცია, დრო t→ ∞-ზე. ეს შესაძლებელია ლაპლასის ტრანსფორმირების თვისების გამოყენებით, რომელსაც უწოდებენ ბოლო მნიშვნელობის თეორემა. ბოლო მნიშვნელობის თეორემა და საწყისი მნიშვნელობის თეორემა ერთად უწოდებენ ლიმიტის თეორემებს.

ლაპლასის ტრანსფორმირების ბოლო მნიშვნელობის თეორემის განმარტება

თუ f(t) და f'(t) დარგებულია ლაპლასის ტრანსფორმირებით და sF(s) არ აქვს პოლი jw ღერძზე და მარჯვენა ნახევარსფეროში (R.H.P.), მაშინ,

ლაპლასის ტრანსფორმირების ბოლო მნიშვნელობის თეორემის დამტკიცება
ჩვენ ვიცით ლაპლასის ტრანსფორმირების დიფერენცირების თვისება:

შენიშვნა
აქ ლიმიტი 0– არის არჩეული იმისთვის, რომ დავუყენოთ იმპულსები t = 0-ზე
ახლა ვიღებთ ლიმიტს, როდესაც s → 0. მაშინ e-st → 1 და მთელი განტოლება გარდაიქმნება შემდეგი სახისად

ლაპლასის ტრანსფორმირების ბოლო მნიშვნელობის თეორემის მაგალითები
განსაზღვრეთ მოცემული F(s)-ის ბოლო მნიშვნელობები, გარეშე ფუნქციის f(t) განსაზღვრის გარეშე

პასუხი


პასუხი

შენიშვნა
აქ ინვერსული ლაპლასის ტრანსფორმაცია რთულია. მაინც ჩვენ შეგვიძლია გავიგოთ ბოლო მნიშვნელობა თეორემის გამოყენებით.

პასუხი
შენიშვნა
მაგალითები 1 და 2-ში ჩვენ შევამოწმეთ პირობები, მაგრამ ისინი ყველას დაკმარავს. ასე რომ, ჩვენ გარეშე არ ვიჩვენებთ. მაგრამ აქ sF(s)-ს აქვს პოლი მარჯვენა ნახევარსფეროში, რადგან მნიშვნელი აქვს დადებითი ფესვი.
ასე რომ, აქ ჩვენ ვერ გამოვიყენებთ ბოლო მნიშვნელობის თეორემას.

პასუხი
შენიშვნა
ამ მაგალითში sF(s)-ს აქვს პოლები jw ღერძზე, +2i და -2i კონკრეტულად.
ასე რომ, აქ ჩვენ ვერ გამოვიყენებთ ბოლო მნიშვნელობის თეორემას ასევე.

პასუხი
შენიშვნა

მიმართულებები დამახსოვრებისთვის:

• ბოლო მნიშვნელობის თეორემის გამოყენებისთვის ჩვენ უნდა დავრწმუნდეთ, რომ f(t) და f'(t) დარგებულია ტრანსფორმირებით.

• ჩვენ უნდა დავრწმუნდეთ, რომ ბოლო მნიშვნელობა არსებობს. ბოლო მნიშვნელობა არ არსებობს შემდეგ შემთხვევებში

თუ sF(s)-ს აქვს პოლები s სიბრტყის მარჯვენა ნახევარსფეროში. [მაგალითი 3]
თუ sF(s)-ს აქვს კონიუგირებული პოლები jw ღერძზე. [მაგალითი 4]
თუ sF(s)-ს აქვს პოლი წყვილის წყაროში. [მაგალითი 5]

• შემდეგ გამოვიყენოთ

ამ მაგალითში sF(s)-ს აქვს პოლი წყვილის წყაროში.
ასე რომ, აქ ჩვენ ვერ გამოვიყენებთ ბოლო მნიშვნელობის თეორემას ასევე.
ბოლო ტრიკი