Theorema Valoris Finalis in Transformatione Laplaciana (Probatio et Exempla)

In solutionibus rete rerum, transientium, et systematum, non semper nos invenire volumus totam functionem temporis f(t) ex eius transformatione Laplace F(s), quae ad solutionem est. Mirabile est scire quod possumus invenire primam vel ultimam valorem f(t) vel eius derivativorum sine necessitate inveniendi totam functionem f(t). Interesset nobis invenire valores finales et eius derivativorum in hoc articulo.

Pro exempli causa:
Si F(s) datur, voluerimus scire quid sit F(∞), sine scientia functionis f(t), quae est inversa transformationis Laplace, tempore t→ ∞. Hoc fieri potest per usum proprietatis transformationis Laplace, quae vocatur Theorema Valoris Finalis. Theorema valoris finalis et theorema valoris initialis simul dicuntur theorematum limitantium.

Definitio Theorematum Valoris Finalis Transformationis Laplace

Si f(t) et f'(t) ambo transformabilia sunt et sF(s) nullum habet polus in axe jw et in R.H.P. (Right half Plane), tunc,

Probatio Theorematum Valoris Finalis Transformationis Laplace
Scimus proprietatem differentiationis transformationis Laplace:

Nota
Hic limes 0– sumitur ut curam habeat impulsi presentes t = 0
Nunc s → 0 accipimus. Tunc e-st → 1 et tota aequatio videtur

Exempla Theorematum Valoris Finalis Transformationis Laplace
Invenite valores finales datis F(s) sine calculo explicito f(t)

Responsum


Responsum

Nota
Vide hic inversam transformationem Laplace esse difficilem. Tamen possumus invenire valorem finalem per theorema.

Responsum
Nota
In exemplis 1 et 2 conditiones comprobavimus, sed satisfaciunt omnibus. Itaque abstinemur ostendendi explicitim. Sed hic sF(s) habet polum in R.H.P., quia denominator radicem positivam habet.
Itaque hic non possumus applicare Theorema Valoris Finalis.

Responsum
Nota
In hoc exemplo sF(s) habet polos in axe jw. +2i et -2i specificiter.
Itaque hic non possumus applicare Theorema Valoris Finalis quoque.

Responsum
Nota

Puncta memorabilis:

• Ad applicandum FVT oportet nos certificari quod f(t) et f'(t) sint transformabilia.

• Oportet nos certificari quod valor finalis existat. Valor finalis non existit in casibus sequentibus

Si sF(s) habet polos in parte dextra plani s. [Exemplum 3]
Si sF(s) habet polos conjugatos in axe jw. [Exemplum 4]
Si sF(s) habet polum in origine. [Exemplum 5]

• Tunc applica

In hoc exemplo sF(s) habet polum in origine.
Itaque hic non possumus applicare Theorema Valoris Finalis quoque.
Truculum Finale
Solummodo videas utrum sF(s) sit infinitum vel non. Si infinitum, tunc non idoneum est pro Theorema Valoris Finalis et valor finalis simpliciter infinitus est.

Declaratio: Respecta originale, boni articulos meritos participandi, si infringitur contactus dele.