Teorem o konačnoj vrijednosti u Laplaceovoj transformaciji (Dokaz i primjeri)

U rješenju mreža, prijelaznih stanja i sustava ponekad možda nećemo biti zainteresirani za pronalaženje cijele funkcije vremena f(t) iz njenog Laplaceova preslikavanja F(s), koje je dostupno za rješenje. Zanimljivo je otkriti da možemo pronaći prvu ili posljednju vrijednost f(t) ili njenih derivacija bez potrebe za pronalaskom cijele funkcije f(t). U ovom članku bit ćemo zainteresirani za pronalaženje konačnih vrijednosti i njenih derivacija.

Za primjer:
Ako je F(s) zadano, željeli bismo znati što je F(∞), bez poznavanja funkcije f(t), koja je inverzna Laplaceova transformacija, u trenutku t→ ∞. To se može učiniti korištenjem svojstva Laplaceove transformacije poznatog kao Teorem o konačnoj vrijednosti. Teorem o konačnoj vrijednosti i teorem o početnoj vrijednosti zajedno se nazivaju graničnim teoremima.

Definicija teorema o konačnoj vrijednosti Laplaceove transformacije

Ako su f(t) i f'(t) oba Laplaceovo preslikavanja i sF(s) nema pol na jw osi i u D.H.P. (Desna poluravnina), tada,

Dokaz teorema o konačnoj vrijednosti Laplaceove transformacije
Znamo svojstvo diferenciranja Laplaceove transformacije:

Napomena
Ovdje je granica 0– uzeta kako bi se obratilo impulsnim vrijednostima prisutnim u t = 0
Sada uzimamo granicu kao s → 0. Tada e-st → 1 i cijela jednadžba izgleda kao

Primjeri teorema o konačnoj vrijednosti Laplaceove transformacije
Pronađite konačne vrijednosti zadanih F(s) bez eksplicitnog izračunavanja f(t)

Odgovor


Odgovor

Napomena
Vidimo ovdje da je inverzna Laplaceova transformacija teška u ovom slučaju. Ipak, možemo pronaći konačnu vrijednost putem teorema.

Odgovor
Napomena
U primjeru 1 i 2 provjerili smo uvjete, ali ih ispunjavaju svi. Stoga se nadalje ne pokazujemo eksplicitno. Ali ovdje sF(s) ima pol u D.H.P. jer imenilac ima pozitivni korijen.
Stoga ovdje ne možemo primijeniti Teorem o konačnoj vrijednosti.

Odgovor
Napomena
U ovom primjeru sF(s) ima polove na jw osi. Konkretno +2i i -2i.
Stoga ovdje ne možemo primijeniti Teorem o konačnoj vrijednosti niti u tom slučaju.

Odgovor
Napomena

Stvari za zapamtiti:

• Za primjenu teorema o konačnoj vrijednosti trebamo osigurati da su f(t) i f'(t) transformabilne.

• Treba osigurati da postoji konačna vrijednost. Konačna vrijednost ne postoji u sljedećim slučajevima

Ako sF(s) ima pole na desnoj strani s-ravnine. [Primjer 3]
Ako sF(s) ima konjugirane pole na jw osi. [Primjer 4]
Ako sF(s) ima pol u ishodištu. [Primjer 5]

• Tada primijenite

U ovom primjeru sF(s) ima pol u ishodištu.
Stoga ovdje ne možemo primijeniti Teorem o konačnoj vrijednosti niti u tom slučaju.
Konačni trik
Samo provjerite je li sF(s) ograničeno ili ne. Ako nije ograničeno, tada nije prikladno za Teorem o konačnoj vrijednosti i konačna vrijednost je jednostavno beskonačna.

Izjava: Poštujte original, dobre članke vrijedi podijeliti, ako postoji kršenje autorskih prava molim o brisanje.