లాప్లాస్ రూపాన్తరంలో అంతిమ విలువ సిద్ధాంతం (ఉపపత్తి మరియు ఉదాహరణలు)

మంచి నెట్వర్క్లు, ట్రాన్సియెంట్లు, మరియు వ్యవస్థల పరిష్కారంలో, కొన్నిసార్లు మనం లాప్లాస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ F(s) నుండి f(t) అనే సమాచారం ముందుగా కనుగొనడంలో ఆసక్తి ఉండదు. అంతేకాక, f(t) లేదా దాని డెరివేటివ్ల యొక్క మొదటి విలువ లేదా చివరి విలువను కనుగొనడం ఎంతో ఆసక్తికరం. ఈ రచనలో మేము చివరి విలువలు మరియు వాటి డెరివేటివ్లను కనుగొనడంలో ఆసక్తి చూపుతాము.

ఉదాహరణకు:
ఒకవేళ F(s) ఇవ్వబడినట్లయితే, మనం f(t) ను, అన్ని సమయం t→ ∞ లో లాప్లాస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ యొక్క విలోమం తెలియని అయినప్పటికీ, F(∞) ఏమిటో తెలుసుకోవాలి. ఇది Final Value Theorem అనే లాప్లాస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ యొక్క గుణం ద్వారా చేయబడవచ్చు. Final value theorem మరియు initial value theorem లను కలిసి Limiting Theorems అంటారు.

Laplace Transform యొక్క Final Value Theorem యొక్క నిర్వచనం

f(t) మరియు f'(t) రెండూ Laplace Transformable మరియు sF(s) jw అక్షం మరియు R.H.P (Right half Plane) లో పోల్ లేకుండా ఉన్నట్లయితే,

Laplace Transform యొక్క Final Value Theorem యొక్క ప్రమాణం
మేము Laplace Transformation యొక్క విభేదన గుణాన్ని తెలుసు:

నోట్
ఇక్కడ పరిమితి 0– ను t = 0 లో ఉన్న ప్రవాహాలను తోడ్పడించడానికి తీసుకుంటాము
ఇప్పుడు మనం s → 0 లో పరిమితిని తీసుకుంటాము. అప్పుడు e-st → 1 మరియు మొత్తం సమీకరణం ఇలా ఉంటుంది

Laplace Transform యొక్క Final Value Theorem యొక్క ఉదాహరణలు
ఇచ్చిన F(s) యొక్క చివరి విలువలను f(t) ను కనుగొనే అవసరం లేని విధంగా కనుగొనండి

సమాధానం


సమాధానం

నోట్
ఇక్కడ Inverse Laplace Transform బాకాయి. అయితే మనం Theorem ద్వారా చివరి విలువను కనుగొనవచ్చు.

సమాధానం
నోట్
ఉదాహరణలు 1 మరియు 2 లో మనం షరత్తులను తనిఖీ చేశాము, అవి అన్నింటిని పూర్తి చేశాయి. కాబట్టి, మనం విస్తారంగా చూపించడం లేదు. కానీ ఇక్కడ sF(s) లో R.H.P లో పోల్ ఉంది, ఎందుకంటే హారంలో ధనాత్మక మూలం ఉంది.
కాబట్టి, ఇక్కడ మనం Final Value Theorem అనేది వినియోగించలేము.

సమాధానం
నోట్
ఈ ఉదాహరణలో sF(s) లో jw అక్షం మీద +2i మరియు -2i పోల్ లు ఉన్నాయి.
కాబట్టి, ఇక్కడ మనం Final Value Theorem అనేది వినియోగించలేము.

సమాధానం
నోట్

మనసులో ఉంచండి:

• FVT వినియోగించడానికి f(t) మరియు f'(t) ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ చేయబడాలని ఖాతీ చేయాలి.

• మనం చివరి విలువ ఉందని ఖాతీ చేయాలి. క్రింది సందర్భాలలో చివరి విలువ ఉండదు

sF(s) లో s ప్లేన్ యొక్క దక్షిణం వైపు పోల్ లు ఉంటే. [ఉదాహరణ 3]
sF(s) లో jw అక్షం మీద జటిల పోల్ లు ఉంటే. [ఉదాహరణ 4]
sF(s) లో మూలం ఉంటే. [ఉదాహరణ 5]

• అప్పుడు వినియోగించండి

ఈ ఉదాహరణలో sF(s) లో మూలం ఉంటుంది.
కాబట్టి, ఇక్కడ మనం Final Value Theorem అనేది వినియోగించలేము.