Endelig Værdi Sætning i Laplace-transformation (Bevis & Eksempler)

I løsningen af netværk, overgangstilstande og systemer kan vi nogle gange ikke være interesseret i at finde den fulde tidsfunktion f(t) fra dens Laplace-transform F(s), som er tilgængelig for løsningen. Det er meget interessant at finde, at vi kan finde den første eller sidste værdi af f(t) eller dets afledede uden at skulle finde den fulde funktion f(t). I denne artikel vil vi være interesseret i at finde slutværdierne og deres afledede.

For eksempel:
Hvis F(s) er givet, vil vi gerne vide, hvad F(∞) er, uden at kende funktionen f(t), som er Inverse Laplace-transformation, når t→ ∞. Dette kan gøres ved hjælp af en egenskab ved Laplace-transformation, kendt som Slutværditeoremet. Slutværditeoremet og begyndelsesværditeoremet kaldes sammen for grænseteoremer.

Definition af Slutværditeoremet for Laplace-transformen

Hvis både f(t) og f'(t) er Laplace-transformable og sF(s) har ingen pol på jw-aksen og i R.H.P. (Højre halvplan), så,

Bevis for Slutværditeoremet for Laplace-transformen
Vi ved differentiationsegenskaben for Laplace-transformation:

Bemærk
Her tages grænsen 0– for at tage højde for impulserne, der findes ved t = 0
Nu tager vi grænsen, når s → 0. Så e-st → 1, og hele ligningen ser ud som

Eksempler på Slutværditeoremet for Laplace-transformen
Find slutværdierne for det givne F(s) uden at beregne f(t) eksplisit

Svar


Svar

Bemærk
Se her, Invers Laplace-transformation er svær i dette tilfælde. Alligevel kan vi finde slutværdien gennem teoremet.

Svar
Bemærk
I Eksempel 1 og 2 har vi også tjekket betingelserne, men de opfylder dem alle. Så vi undlader at vise det eksplisit. Men her har sF(s) en pol i R.H.P., da nævneren har en positiv rod.
Så, her kan vi ikke anvende Slutværditeoremet.

Svar
Bemærk
I dette eksempel har sF(s) poler på jw-aksen. Specifikt +2i og -2i.
Så, her kan vi heller ikke anvende Slutværditeoremet.

Svar
Bemærk

Punkter at huske:

• For at anvende Slutværditeoremet skal vi sikre os, at både f(t) og f'(t) er transformable.

• Vi skal sikre os, at slutværdien findes. Slutværdien findes ikke i følgende tilfælde

Hvis sF(s) har poler på højre side af s-planen. [Eksempel 3]
Hvis sF(s) har konjugerede poler på jw-aksen. [Eksempel 4]
Hvis sF(s) har pol ved origo. [Eksempel 5]

• Så anvend

I dette eksempel har sF(s) en pol ved origo.
Så her kan vi heller ikke anvende Slutværditeoremet.
Sidste trick
Tjek bare, om sF(s) er ubegrænset eller ej. Hvis det er ubegrænset, passer det ikke til Slutværditeoremet, og slutværdien er simpelthen uendelig.

Erklæring: Respektér det originale, godt indhold fortjener at deles, ved forseelse kontakt os for sletning.