Teorema sa Final nga Balore sa Transformasyon sa Laplace (Pruweba & mga Ehenpilo)

Sa pag-solve sa mga Network, Transient, ug System, bisan asa kini, mao nga dili nato interesado sa pagpangita sa buong function sa panahon f(t) gikan sa iyang Laplace Transform F(s), nga adunay solusyon. Maayo nga makita nga mahimo nato ang pagpangita sa unang value o katapusan nga value sa f(t) o sa iyang derivatives sanag dili nato kinahanglan ang buong function sa f(t). Ang atong interes mao ang pagpangita sa katapusan nga values ug sa iyang derivatives niining artikulo.

Isip ehenpilo:
Kinahanglan nato ang F(∞), sanag dili nato kasabot ang function sa f(t), nga mao ang Inverse Laplace Transformation, sa panahon t→ ∞. Kini mahimo pinaagi sa paggamit sa property sa Laplace Transform nga gitawag og Final Value Theorem. Ang Final value theorem ug initial value theorem gitawag usab og Limiting Theorems.

Definition of Final Value Theorem of Laplace Transform

Kon ang f(t) ug f'(t) parehas ra sila Laplace Transformable ug ang sF(s) walay pole sa jw axis ug sa R.H.P. (Right half Plane) maka,

Proof of Final Value Theorem of Laplace Transform
Kasabot nato ang differentiation property sa Laplace Transformation:

Note
Ang limit 0– gipangita aron maprotektahan ang impulses sa t = 0
Karon, pagkuha sa limit kon s → 0. Mao ang e-st → 1 ug ang tanang equation magliwat isip

Examples of Final Value Theorem of Laplace Transform
Pangitaon ang katapusan nga values sa gihatag nga F(s) sanag dili nato explicit na gipanghitabo ang f(t)

Answer


Answer

Note
Makita kini nga ang Inverse Laplace Transform mahirap sa kasong ini. Sa wala pa, mahimo nato ang pagpangita sa Katapusan nga Value pinaagi sa Theorem.

Answer
Note
Sa Example 1 ug 2 natun-an nato ang kondisyon pero adunay satisfaction. Busa, dili nato ipakita ang explicit. Apan, diri ang sF(s) adunay pole sa R.H.P tungod kay ang denominator adunay positive root.
Kaya, diri dili nato mahimong gamiton ang Final Value Theorem.

Answer
Note
Sa example niini, ang sF(s) adunay poles sa jw axis. +2i ug -2i specific.
Kaya, diri dili nato mahimong gamiton ang Final Value Theorem usab.

Answer
Note

Points to remember:

• Para sa pag-apil sa FVT, kinahanglan nato ang assurance nga ang f(t) ug f'(t) transformable.

• Kinahanglan nato ang assurance nga ang Katapusan nga Value eksiste. Wala eksistensya ang Katapusan nga Value sa mga sumusunod nga kaso

Kon ang sF(s) adunay poles sa right side sa s plane. [Example 3]
Kon ang sF(s) adunay conjugate poles sa jw axis. [Example 4]
Kon ang sF(s) adunay pole sa origin. [Example 5]

• Pagkatapos, apilon

Sa example niini, ang sF(s) adunay pole sa origin.
Kaya, diri dili nato mahimong gamiton ang Final Value Theorem usab.
Final Trick
Basaha lang kon ang sF(s) unbounded o dili. Kon unbounded, dili kini fit para sa Final Value Theorem ug ang katapusan nga value simple infinite.

Statement: Respetar el original, los buenos artículos merecen ser compartidos, si hay alguna violación de derechos de autor por favor contacte para eliminar.