ラプラス変換における最終値の定理（証明と例）

ネットワーク、過渡現象、システムの解法において、ラプラス変換F(s)から時間関数f(t)全体を求める必要がない場合があります。興味深いことに、f(t)またはその導関数の初期値や最終値を、f(t)全体を求めることなく見つけることができます。この記事では、最終値とその導関数について検討します。

例として：
F(s)が与えられた場合、逆ラプラス変換であるf(t)を知らずにt→∞でのF(∞)を知りたいことがあります。これは、ラプラス変換の性質である最終値定理を使用することで可能です。最終値定理と初期値定理は、制限定理と呼ばれています。

ラプラス変換の最終値定理の定義

f(t)とf'(t)が両方ともラプラス変換可能であり、sF(s)がjω軸および右半平面（R.H.P.）に極を持たない場合、

ラプラス変換の最終値定理の証明
ラプラス変換の微分性質を思い出してください：

注意
ここでの極限0–は、t = 0におけるインパルスを考慮するためです。
次に、s → 0の極限を取ります。するとe-st → 1となり、全体の方程式は次のようになります：

ラプラス変換の最終値定理の例
f(t)を明示的に計算せずに、与えられたF(s)の最終値を見つけます：

答え


答え

注意
ここでは逆ラプラス変換が困難な場合もありますが、それでも定理を通じて最終値を見つけることができます。

答え
注意
例1と例2では条件を確認しましたが、すべて満たしています。したがって、明示的には示しません。しかし、ここではsF(s)が右半面（R.H.P.）に極を持つため、最終値定理を適用することはできません。

答え
注意
この例では、sF(s)がjω軸上に+2iと-2iという極を持っています。
したがって、ここでも最終値定理を適用することはできません。

答え
注意

覚えておくべき点：

• 最終値定理を適用するには、f(t)とf'(t)が変換可能であることを確認する必要があります。

• 最終値が存在することを確認する必要があります。以下の場合は最終値が存在しません：

sF(s)がs平面の右側に極を持つ場合。[例3]
sF(s)がjω軸上に共役極を持つ場合。[例4]
sF(s)が原点に極を持つ場合。[例5]

• その後、適用します。

この例では、sF(s)が原点に極を持っています。
したがって、ここでも最終値定理を適用することはできません。
最終的なトリック
sF(s)が有界かどうかを確認します。有界でない場合、それは最終値定理に適していないと判断し、最終値は単純に無限大となります。

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