Teorema o konačnoj vrednosti u Laplasovoj transformaciji (Dokaz i primeri)

U rešenju mreža, prelaznih stanja i sistema, ponekad možda nećemo biti zainteresirani za pronalaženje celine funkcije vremena f(t) iz njenog Laplasovog transformatora F(s), koji je dostupan za rešenje. Veoma je zanimljivo saznati da možemo pronaći prvu ili poslednju vrednost f(t) ili njene izvode bez potrebe za pronalaženjem cele funkcije f(t). U ovom članku ćemo biti zainteresirani za pronalaženje krajnjih vrednosti i njihovih izvoda.

Za primer:
Ako je F(s) dato, želimo da znamo šta je F(∞), bez poznavanja funkcije f(t), koja je inverzna Laplasova transformacija, u trenutku t→ ∞. Ovo se može uraditi korišćenjem osobine Laplasove transformacije poznate kao Teorema krajnje vrednosti. Teorema krajnje vrednosti i teorema početne vrednosti zajedno se nazivaju graničnim teoremima.

Definicija Teoreme krajnje vrednosti Laplasove transformacije

Ako su f(t) i f'(t) oba Laplasovo transformabilna i sF(s) nema pol na jw osi i u DHP (Desna poluravan), onda,

Dokaz Teoreme krajnje vrednosti Laplasove transformacije
Znamo osobinu diferencijacije Laplasove transformacije:

Napomena
Ovdje granica 0– uzima se kako bi se obratila impulsnim talasima prisutnim u t = 0
Sada uzimamo granicu kao s → 0. Tada e-st → 1 i cela jednačina izgleda kao

Primeri Teoreme krajnje vrednosti Laplasove transformacije
Pronađite krajnje vrednosti date F(s) bez eksplicitnog izračunavanja f(t)

Odgovor


Odgovor

Napomena
Vidimo ovdje da je inverzna Laplasova transformacija teška u ovom slučaju. Ipak, možemo pronaći krajnju vrednost kroz teorem.

Odgovor
Napomena
U Primeru 1 i 2 proverili smo uslove, ali ih ispunjavaju sve. Stoga se suzdržavamo od eksplicitnog pokazivanja. Ali ovdje sF(s) ima pol u DHP jer imenilac ima pozitivni koren.
Dakle, ovdje ne možemo primeniti Teoremu krajnje vrednosti.

Odgovor
Napomena
U ovom primeru sF(s) ima polove na jw osi. Konkretno +2i i -2i.
Dakle, ovdje takođe ne možemo primeniti Teoremu krajnje vrednosti.

Odgovor
Napomena

Stvari koje treba zapamtiti:

• Za primenu FVT moramo obezbediti da su f(t) i f'(t) transformabilni.

• Moramo obezbediti da postoji krajnja vrednost. Krajnja vrednost ne postoji u sledećim slučajevima

Ako sF(s) ima polove desno od s ravni. [Primer 3]
Ako sF(s) ima konjugovane polove na jw osi. [Primer 4]
Ako sF(s) ima pol na podrijetlu. [Primer 5]

• Tada primeniti

U ovom primeru sF(s) ima pol na podrijetlu.
Dakle, ovdje ne možemo primeniti Teoremu krajnje vrednosti.
Konačni trik
Samo proverite da li je sF(s) ograničeno ili ne. Ako je neograničeno, onda nije prikladno za Teoremu krajnje vrednosti i krajnja vrednost je jednostavno beskonačna.

Izjava: Poštovanje originala, dobre članke vredi deliti, ako postoji kršenje autorskih prava obratite se za brisanje.