Eindagildissetning í Laplace-umröðun (Sönnun & Dæmi)

Þegar við leysum net, skiptingu og kerfi er stundum ekki áhuga á að finna allt fall tímans f(t) úr Laplace-umröðuninni F(s), sem er tiltæk fyrir lausnina. Það er mjög spennandi að finna að við getum fundið fyrsta gildið eða síðasta gildið á f(t) eða afleiður þeirra án þess að finna allt fallið f(t). Við munum sjá um að finna síðustu gildi og afleiður þeirra í þessu grein.

Til dæmis:
Ef F(s) er gefið, viljum við vita hvað F(∞) er, án þess að vita hvað fallið f(t) er, sem er inverk Laplace-umröðun, þegar t → ∞. Þetta er hægt að gera með því að nota eiginleika Laplace-umröðunar sem kallast Endanmarkgildissetning. Endanmarkgildissetning og upphafsgildissetning eru saman kallaðar Markgildissetningar.

Skilgreining á Endanmarkgildissetningu Laplace-umröðunar

Ef bæði f(t) og f'(t) eru Laplace-umröðanleg og sF(s) hefur engar pólar á jw-ás og í HÖH (Hægri hálfplani) þá,

Sönnun á Endanmarkgildissetningu Laplace-umröðunar
Við vitum um deildunareiginleikann á Laplace-umröðun:

Athugasemd
Hér er takmark 0– tekið til að mæta plössunum sem eru til staðar við t = 0
Nú tekum við markgildið þegar s → 0. Þá fer e-st → 1 og allt jafnan líkur eins og

Dæmi um Endanmarkgildissetningu Laplace-umröðunar
Finndu síðustu gildin af gefnu F(s) án þess að reikna f(t) beint

Svar


Svar

Athugasemd
Sjá hér að inverk Laplace-umröðun er erfitt í þessu tilfelli. Eftir sem fyrirferð getum við samt fundið síðasta gildið með þeirri setningu.

Svar
Athugasemd
Í Dæmi 1 og 2 höfum við athugað skilyrðin en þau fullnæga öllum. Svo við haldum okkur frá að sýna þau beint. En hér hefur sF(s) pól á HÖH vegna þess að nefnarinn hefur jákvæða rót.
Svo, hér getum við ekki beitt Endanmarkgildissetningu.

Svar
Athugasemd
Í þessu dæmi hefur sF(s) pól á jw-ás. Nánar tiltekið +2i og -2i.
Svo, hér getum við ekki beitt Endanmarkgildissetningu hvort sem er.

Svar
Athugasemd

Atriði sem skal minnst á:

• Til að beita Endanmarkgildissetningu þurfum við að tryggja að bæði f(t) og f'(t) séu umröðanleg.

• Við þurfum að tryggja að síðasta gildið sé til staðar. Síðasta gildi er ekki til í eftirfarandi tilvikum

Ef sF(s) hefur pól á hægri hlið s-planinn. [Dæmi 3]
Ef sF(s) hefur samoktapóla á jw-ás. [Dæmi 4]
Ef sF(s) hefur pól í upphafi. [Dæmi 5]

• Svo beitið

Í þessu dæmi hefur sF(s) pól í upphafi.
Svo hér getum við ekki beitt Endanmarkgildissetningu.
Lokaleg taktík
Berið eftir að sF(s) sé ótakmarkað eða ekki. Ef ótakmarkað, þá er það ekki einkvæmt fyrir Endanmarkgildissetningu og síðasta gildið er einfaldlega óendanlegt.

Yfirlýsing: Respekt upprunalega, góðar ritrýndar þjófa þjófan, ef það er brottleysing þá skuluðu hafa samband og eyða.