لیپلاس تبدیل میں نہایت قدر کا قضیہ (ثبوت و مثالیں)

نیٹ ورک، ترانزیئنٹس اور سسٹم کے حل میں بعض اوقات ہم لپلاس تبدیل F(s) سے پوری وقت کی فنکشن f(t) معلوم کرنے میں دلچسپی نہیں رکھتے ہیں۔ بہت دلچسپ ہے کہ ہم پوری فنکشن f(t) معلوم کیے بغیر f(t) یا اس کے مشتق کے پہلے یا آخری قدر کو معلوم کر سکتے ہیں۔ اس مضمون میں ہم f(t) اور اس کے مشتق کی آخری قدر معلوم کرنے میں دلچسپی رکھیں گے۔

مثال کے طور پر:
اگر F(s) دیا گیا ہے، تو ہم F(∞) کو جاننا چاہیں گے، بغیر f(t) کو معلوم کیے، جو لپلاس انورس ٹرانسفرمیشن ہوتی ہے، وقت t→ ∞ پر۔ یہ لپلاس ٹرانسفرم کی ایک خاصیت کے ذریعے کیا جا سکتا ہے جسے آخری قدر کا قضیہ کہا جاتا ہے۔ آخری قدر کا قضیہ اور ابتدائی قدر کا قضیہ مل کر حدی قضیے کہلاتے ہیں۔

لپلاس ٹرانسفرم کے آخری قدر کا قضیہ کی تعریف

اگر f(t) اور f'(t) دونوں لپلاس ٹرانسفرمیبل ہیں اور sF(s) کے jw محور اور R.H.P. (دائیں نصف صفحہ) میں کوئی قطب نہیں ہے تو،

لپلاس ٹرانسفرم کے آخری قدر کا قضیہ کا ثبوت
ہم لپلاس ٹرانسفرمیشن کی تفریق خاصیت کو جانتے ہیں:

نوٹ
یہاں حد 0– کو t = 0 پر موجود امپالس کو مد نظر رکھنے کے لیے لیا گیا ہے
اب ہم s → 0 کی حد لیتے ہیں۔ پھر e-st → 1 اور پورا مساوات منظر عام پر آتا ہے

لپلاس ٹرانسفرم کے آخری قدر کا قضیہ کے مثالیں
فیصلہ کیجئے کہ دیا گیا F(s) کی آخری قدر کیا ہے بغیر f(t) کو واضح طور پر معلوم کیے

جواب


جواب

نوٹ
یہاں لپلاس انورس ٹرانسفرم کرنا مشکل ہے۔ باوجود اس کے ہم قضیہ کے ذریعے آخری قدر معلوم کر سکتے ہیں۔

جواب
نوٹ
مثال 1 اور 2 میں ہم شرائط کو جانچا ہے لیکن یہ تمام شرائط کو پورا کرتا ہے۔ لہذا ہم صرف واضح طور پر ظاہر نہیں کرتے۔ لیکن یہاں sF(s) کا R.H.P (دائیں نصف صفحہ) میں ایک قطب ہے کیونکہ مخرج میں ایک مثبت ریڈیکل ہے۔
لہذا یہاں ہم آخری قدر کا قضیہ لاگو نہیں کرسکتے۔

جواب
نوٹ
یہاں sF(s) کے jw محور پر قطب ہیں۔ +2i اور -2i خصوصاً۔
لہذا یہاں ہم آخری قدر کا قضیہ بھی لاگو نہیں کرسکتے۔

جواب
نوٹ

یاد رکھنے کے لائق باتیں:

• آخری قدر کے قضیہ کو لاگو کرنے کے لیے ہمیں یقین کرنا چاہیے کہ f(t) اور f'(t) تبدیل ہوسکتے ہیں۔

• ہمیں یقین کرنا چاہیے کہ آخری قدر موجود ہے۔ آخری قدر درج ذیل صورتحالوں میں موجود نہیں ہوتی

اگر sF(s) کے s صفحہ کے دائیں جانب قطب ہیں۔ [مثال 3]
اگر sF(s) کے jw محور پر متوازن قطب ہیں۔ [مثال 4]
اگر sF(s) کے مبدا پر قطب ہیں۔ [مثال 5]

• پھر لاگو کریں

یہاں sF(s) کا مبدا پر قطب ہے۔
لہذا یہاں ہم آخری قدر کا قضیہ بھی لاگو نہیں کرسکتے۔
آخری ٹرک
صرف یہ چیک کریں کہ sF(s) غیر محدود ہے یا نہیں۔ اگر غیر محدود ہے تو یہ آخری قدر کا قضیہ کے لیے مناسب نہیں ہے اور آخری قدر بس محدود ہوتی ہے۔

Statement: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.