Laplace-muunnoksen lopullisen arvolause (Todistus & Esimerkkejä)

Verkkojen, väliaikaisen tilan ja järjestelmien ratkaisemisessa joskus emme ehkä ole kiinnostuneita löytämään koko ajan funktion f(t) sen Laplace-muunnoksesta F(s), joka on saatavilla ratkaisua varten. On erittäin mielenkiintoista, että voimme löytää f(t):n ensimmäisen tai viimeisen arvon tai sen derivaattojen arvot ilman, että meidän tarvitsee löytää koko funktio f(t). Tässä artikkelissa olemme kiinnostuneita lopullisten arvojen ja niiden derivaattojen löytämisestä.

Esimerkin vuoksi:
Jos F(s) on annettu, haluaisimme tietää, mikä on F(∞), ilman, että tiedämme funktion f(t), joka on Laplace-muunnoksen käänteismuunnos, kun t→ ∞. Tämä voidaan tehdä käyttämällä Laplace-muunnoksen ominaisuutta, jota kutsutaan Lopulliseksi arvolauseeksi. Lopullinen arvolause ja alkuarvolause yhdessä tunnetaan rajalauseina.

Lopullisen arvolauseen määritelmä Laplace-muunnokselle

Jos f(t) ja f'(t) ovat molemmat Laplace-muunnoksiin sopivat ja sF(s):lla ei ole pisteitä jw-akselilla eikä oikeassa puoliskossa (R.H.P.), silloin,

Lopullisen arvolauseen todistus Laplace-muunnokselle
Tiedämme Laplace-muunnoksen derivointiominaisuuden:

Huomautus
Tässä raja 0– otetaan huomioon impulssit, jotka ovat läsnä t = 0
Nyt otamme raja-arvon, kun s → 0. Silloin e-st → 1 ja koko yhtälö näyttää seuraavalta

Lopullisen arvolauseen esimerkkejä Laplace-muunnokselle
Löydä annetun F(s):n lopulliset arvot ilman, että lasketaan nimenomaan f(t)

Vastaus


Vastaus

Huomautus
Näe tässä Laplace-muunnoksen käänteismuunnos on vaikeaa tässä tapauksessa. Silti voimme löytää lopullisen arvon lauseen avulla.

Vastaus
Huomautus
Esimerkeissä 1 ja 2 olemme tarkistaneet myös ehdot, mutta ne täyttävät kaikki ehdot. Joten pidättäydyimme näiden näyttämisestä selkeästi. Mutta tässä sF(s):lla on piste oikeassa puoliskossa, koska nimittäjällä on positiivinen juuri.
Joten tässä emme voi soveltaa Lopullista arvolauseketta.

Vastaus
Huomautus
Tässä esimerkissä sF(s):lla on pisteet jw-akselilla, +2i ja -2i erityisesti.
Joten tässä emme voi soveltaa Lopullista arvolauseketta myöskään.

Vastaus
Huomautus

Muistettavaa:

• Lopullisen arvolauseen soveltamiseksi meidän on varmistettava, että f(t) ja f'(t) ovat muunnoksiin sopivia.

• Meidän on varmistettava, että lopullinen arvo on olemassa. Lopullista arvoa ei ole seuraavissa tapauksissa

Jos sF(s):lla on pisteitä s-tason oikealla puolella. [Esimerkki 3]
Jos sF(s):lla on liittopisteitä jw-akselilla. [Esimerkki 4]
Jos sF(s):lla on piste origossa. [Esimerkki 5]

• Sitten sovelletaan

Tässä esimerkissä sF(s):lla on piste origossa.
Joten tässä emme voi soveltaa lopullista arvolauseketta myöskään.
Lopullinen vinkki
Tarkista vain, että sF(s) on rajoittamaton tai ei. Jos rajoittamaton, se ei ole sopiva Lopulliselle arvolauseelle ja lopullinen arvo on ääretön.

Lause: Kunnioita alkuperäistä, hyviä artikkeleita on jaettava, jos on loukkausta, yhteydenottopyyntö poistettavaksi.