Τελική Θεώρημα στη μετασχηματισμό Laplace (Άπειρος & Παραδείγματα)

Στη λύση δικτύων, μεταβατικών καταστάσεων και συστημάτων, μερικές φορές μπορεί να μην ενδιαφέρει να βρούμε την πλήρη συνάρτηση του χρόνου f(t) από τον Μετασχηματισμό Laplace F(s), που είναι διαθέσιμος για τη λύση. Είναι εξαιρετικά ενδιαφέρον να βρούμε την πρώτη ή τελική τιμή της f(t) ή των παραγώγων της, χωρίς να χρειάζεται να βρούμε την πλήρη συνάρτηση f(t). Σε αυτό το άρθρο θα ενδιαφερόμαστε για την εύρεση των τελικών τιμών και των παραγώγων τους.

Για παράδειγμα:
Αν δίνεται ο F(s), θα θέλαμε να γνωρίζουμε το F(∞), χωρίς να γνωρίζουμε τη συνάρτηση f(t), που είναι ο Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace, όταν t→ ∞. Αυτό μπορεί να γίνει με τη χρήση της ιδιότητας του Μετασχηματισμού Laplace, γνωστής ως Τελική Τιμή Θεώρημα. Το Θεώρημα της Τελικής Τιμής και το Θεώρημα της Αρχικής Τιμής είναι μαζί γνωστά ως Οριακά Θεωρήματα.

Ορισμός του Θεωρήματος της Τελικής Τιμής του Μετασχηματισμού Laplace

Εάν η f(t) και η f'(t) είναι μετασχεπτιζόμενες και το sF(s) δεν έχει πόλους στον άξονα jw και στο Δεξιό Μισό Επίπεδο (Right Half Plane), τότε,

Απόδειξη του Θεωρήματος της Τελικής Τιμής του Μετασχηματισμού Laplace
Ξέρουμε την ιδιότητα της διαφορικής του Μετασχηματισμού Laplace:

Σημείωση
Εδώ, η οριακή τιμή 0– λαμβάνεται για να λάβει υπόψη τις παρεμβολές που υπάρχουν στο t = 0
Τώρα, παίρνουμε το όριο όταν s → 0. Τότε e-st → 1 και η ολόκληρη εξίσωση φαίνεται ως εξής

Παραδείγματα του Θεωρήματος της Τελικής Τιμής του Μετασχηματισμού Laplace
Βρείτε τις τελικές τιμές του δοθέν F(s) χωρίς να υπολογίζετε αναλυτικά τη f(t)

Απάντηση


Απάντηση

Σημείωση
Εδώ, ο Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace είναι δύσκολος σε αυτή την περίπτωση. Ωστόσο, μπορούμε να βρούμε την Τελική Τιμή μέσω του Θεωρήματος.

Απάντηση
Σημείωση
Στα Παραδείγματα 1 και 2 έχουμε ελέγξει τις συνθήκες, αλλά τις ικανοποιούν όλες. Έτσι, δεν θα τις εμφανίσουμε αναλυτικά. Ωστόσο, εδώ το sF(s) έχει έναν πόλο στο Δεξιό Μισό Επίπεδο (R.H.P.), καθώς ο παρονομαστής έχει θετική ρίζα.
Άρα, εδώ δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα της Τελικής Τιμής.

Απάντηση
Σημείωση
Σε αυτό το παράδειγμα, το sF(s) έχει πόλους στον άξονα jw. Συγκεκριμένα, +2i και -2i.
Άρα, εδώ δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα της Τελικής Τιμής επίσης.

Απάντηση
Σημείωση

Πράγματα που πρέπει να θυμόμαστε:

• Για την εφαρμογή του Θεωρήματος της Τελικής Τιμής, πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι η f(t) και η f'(t) είναι μετασχεπτιζόμενες.

• Πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι η Τελική Τιμή υπάρχει. Η Τελική Τιμή δεν υπάρχει στις παρακάτω περιπτώσεις

Αν το sF(s) έχει πόλους στο δεξιό μέρος του επιπέδου s. [Παράδειγμα 3]
Αν το sF(s) έχει συζυγή πόλους στον άξονα jw. [Παράδειγμα 4]
Αν το sF(s) έχει πόλο στην αρχή. [Παράδειγμα 5]

• Τότε εφαρμόστε

Σε αυτό το παράδειγμα, το sF(s) έχει πόλο στην αρχή.
Άρα, εδώ δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα της Τελικής Τιμής επίσης.
Τελική Τεχνική
Απλά ελέγξτε αν το sF(s) είναι άπειρο ή όχι. Εάν είναι άπειρο, τότε δεν είναι κατάλληλο για το